Просмотр исходного текста страницы Кандаминимум 010109 - ответы доп.специальности (Дедус)

Берётся в основном из книжки Дедуса {{Скачать|Дедус - Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных сигналов.pdf}}.

== Метод наименьших квадратов ==

* Также см. [[machinelearning:Метод наименьших квадратов]].
* Задача — построение регрессий / аналитических описаний каких-то измерений. МНК — минимизация квадрата отклонения значений, вычисленных аналитически, от экспериментальных значений.
* Приходит к решению <m>A^TAw=A^Ty</m>, то есть <m>w=(A^TA)^{-1}(A^Ty)</m>.
* Есть проблемы в случае плохой обусловленности матрицы, нужно юзать [[machinelearning:Сингулярное разложение]].
* И, что важно (!) Если просто <m>x^k</m>, то при увеличении точности нужно пересчитывать все коэффициенты.

== Спектральная реализация метода наименьших квадратов ==

* Чебышев решил использовать при разложении системы ортогональных функций — тогда коэффициенты пересчитывать не нужно, это будут просто коэф. ряда Фурье (скалярные произведения на функции базиса).
* '''Опр.''' L<sub>2</sub>, скалярное произведение, ортогональные функции, полная система, замкнутая система, ряд Фурье.
* '''Т.''' (Фурье) конечный отрезок ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение.

== Равенство Ляпунова-Стеклова. Равенство Парсеваля. Свойство жёсткости разложения ==

* Неравенство Бесселя: <br /> <m>\sum_{n=1}^{N}|c_n|² \le \|f\|²</m>. <br /> В пределе при <m>N \to \infty</m> для полных систем переходит в <br />равенство Парсеваля: <m>\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|² \le \|f\|²</m>, где c<sub>n</sub> — коэффициенты ряда Фурье функции f.
* Равенство Ляпунова-Стеклова = равенство Парсеваля в пространстве функций.
* Свойство жёсткости разложения — как раз то, что пересчитывать коэффициенты при увеличении точности не нужно.

== Классические ортогональные базисы. Их основные свойства ==

* Определяются одним из 3-х свойств:
** Их производные также образуют ортогональную систему.
** Удовлетворяют гипергеометрическому дифуру.
** Обобщённая формула Родрига: <m>\phi_n(x) = \frac{1}{K_n \rho(x)}\frac{d^n(\rho(x)X^n)}{dx^n}</m>.
* Также для них есть рекуррентные соотношения, связывающие 3 любые последовательных функции.
* Базисы:
# [-1; 1]. Якоби — с весовой функцией <m>\rho(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta</m>.
#* Гегенбауэра: &alpha; = &beta; = &lambda; — 0.5.
#** Чебышева I рода: &lambda; = 0.
#** Чебышева II рода: &lambda; = 1.
#** Лежандра: &lambda; = 0.5 (весовая функция = 1).
# (0; +&infin;) Сонина-Лагерра: <m>\rho(x) = x^\alpha e^{-x}</m>
#* Лагерра: &alpha; = 0.
# (-&infin;; +&infin;) Эрмита: <m>\rho(x) = e^{-x²}</m>

== Вычисление коэффициентов разложения. Роль квадратурных формул Гаусса ==

* Можно почитать [[rupedia:Численное интегрирование#Метод Гаусса]].
* В книжке Дедуса стр. 59.
* Квадратуры Гаусса по k точкам точны для полиномов степени не выше 2k-1.
* Узлы = корням полинома p<sub>k</sub>(x), соответствующего заданной весовой функции.
* Веса находятся по формулам…
* Роль: позволяют классической ОНС непрерывного аргумента сопоставить ОНС дискретного аргумента.

== Оператор умножения на функцию. Деление сигналов ==

* Идея — вычислить коэффициенты ряда произведения функций, не вычисляя само произведение: <br /> <m>c_k = \sum_{0}^{N-1} \sum_{0}^{N-1} \delta_{ijk} a_i b_j</m>, где <m>\delta_{ijk} = \int \psi_i(x)\psi_j(x)\psi_k(x)\rho(x)dx</m>
* В матричной форме c = Ba, B — оператор умножения на b.
* Деление: a = B<sup>-1</sup>c(x) — обратная задача.
* '''Утв.''' Матрица оператора умножения симметрична.
* '''Утв.''' Матрица оператора положительно определена, если функция b положительна.
* '''Утв.''' Макс. и мин. с.з. оператора ограничены по модулю макс. и мин. функции b.

== Алгебра спектральных преобразований. Использование рекуррентных соотношений ==

* По ходу, имеется ввиду диссер Руслануса: {{Скачать|Тетуев Р.К. - Алгебра спектральных преобразований в задачах обработки данных.pdf}}.
* '''Т.''' Если A — линейный оператор и существуют рекуррентные соотношения для A(всех базисных функций) относительно A(предыдущих базисных функций) и самих базисных функций, существует алгоритм линейной сложности для вычисления A(f).
* Рассматриваются операторы интегрирования, дифференцирования, умножения на x, деления на x.
* Плюс метод «каскада и диффузии» — рекуррентное соотношение разделяется на два — относительно A(предыдущих базисных функций) и относительно самих базисных функций.

== Использование соотношений в пространстве коэффициентов разложения для распознавания образов и анализа сцен ==

* Тоже можно почитать Руслануса.
* Контуры, векторизация, инварианты — площадь ограниченная контуром, периметр контура, аффинная длина дуги кривой.
* Короче, ''генерация признаков''.

== Интегральные оценки сигналов. Коэффициент формы сигнала ==

* Фактически идея — величина проекции функции на некоторую другую, то есть скалярное произведение.
* Коэффициент формы — интегральная инвариантная к длительности оценка.<br /><m>K_i = \frac{\int_{0}^{T}x(t)h(t)dt}{\int_{0}^{T}x(t)g(t)dt}</m>
* Можно напридумывать много:
* Степенной: <m>h(t) = (T-t)^i, g(t) = t^i</m>.
* Параболический: <m>h(t)=(2t-T)^{2}, g(t)=4t(T-t)</m>.
* Экспоненциальный: <m>h(t)=e^{-at}, g(t)=e^{-a(T-t)}</m>.

== Интегральное преобразование Фурье. Собственные функции ==

* Можно почитать [[rupedia:Преобразование Фурье]] и ещё лучше — [[wikipedia:Fourier transform]]. <br /> <m>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx</m>
* Собственные функции преобразования Фурье образуют ортонормированную систему функций Эрмита — см. [[wikipedia:Fourier transform#Eigenfunctions]], а собственные значения равны (-i)<sup>n</sup>.

[[Категория:Кандаминимум]]