Просмотр исходного текста страницы Кандаминимум 010109 - ответы основной специальности

== Математическое программирование ==

По большей части берётся из лекций по МетОптам: {{Скачать|Лекции по методам оптимизации 2003.pdf}}. Другие источники описаны отдельно.

==== Теоремы о достижении нижней грани функции (функционала) на множестве (в ''Е<sup>N</sup>'', в метрических пространствах, в гильбертовых пространствах) ====

Они же Теоремы Вейерштрасса.

* Полунепрерывная снизу J(u) на компакте в метрическом пространстве достигает своей нижней грани, любая минимальная последовательность сходится к argmin по метрике.
* Слабый вариант. Гильбертово пространство, компакт слабый, п/н слабо. Слабые п.т. мин. последовательности в Argmin.

==== Выпуклые множества, выпуклые функции, сильно выпуклые функции, их свойства ====

* '''Опр.''' множество выпуклое; функция выпуклая, строго выпуклая, сильно выпуклая с k > 0.
* '''Т.''' лок.мин. выпуклой f на выпуклом U = глобальный на U. Argmin выпукло. Argmin={argmin} для строго выпуклой.
* '''Т.''' (сильно вып. Вейерштрасса) J(u) сильно выпукла и п.н. снизу на выпуклом и замкнутом U из Гильбертова H &rArr; достигает inf, Argmin={argmin}, <m>\frac{k}{2}|u-u_*|² \le J(u)-J(u_*)</m>.
* '''Т.''' (критерий вып. для диф-мых функций).
* '''Т.''' (критерий сильной вып. для диф-мых функций).

==== Критерии оптимальности в гладких выпуклых задачах минимизации ====

* '''Т.''' <m>J(u) \in C^1(U)</m>, U выпукло &rArr; <m>(J'(u_*), u-u_*) >= 0</m> (1), <m>J'(u_* \in int U) = 0</m>. Если (1) и J(u) выпукла — значит u argmin (то есть &lArr;).
* Ещё там есть пара примеров.

==== Правило множителей Лагранжа ====

* [[rupedia:Метод множителей Лагранжа]] относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) &rarr; min при огр. g<sub>i</sub> &le; 0.
* А мы будем минимизировать L(u,λ) = λ<sub>0</sub>J(u) + сумма λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>, λ<sub>i</sub> — множители Лагранжа.

==== Теорема Куна-Таккера, двойственная задача, ее свойства ====

* '''Т.''' (Куна-Таккера) (обоснование метода Лагранжа) — всё существует, λ<sub>i</sub> неотрицательно, λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>=0 (усл.доп.нежёсткости). Для достаточности ещё λ<sub>i</sub> &ne; 0.
* '''Опр.''' Двойственная задача: <m>(\psi(\lambda) = inf_{u \in U_0} L(u, \lambda)) \to sup_{\lambda \in \Lambda_0}</m>
* '''Т.''' (свойства дв.задачи). <m>\psi \le \psi^* \le \phi_* = J_* \le \phi(u)</m>. '''=''' только если L имеет седловую точку.

==== Метод проекции градиента (в ''Е<sup>N</sup>'', в гильбертовом пространстве) ====

* Условный минимум — минимизируем J(u) на множестве U. В лоб — метод град. спуска проецируем на U = pr<sub>U</sub>(u<sub>k</sub>-a<sub>k</sub>J'(u<sub>k</sub>)).
* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le |u_0 — u_*|_H q^k(\alpha), q(\alpha) = \sqrt{1-2k\alpha+\alpha² L²}</m>

==== Метод Ньютона ====

* Идея — градиентный (или скорейший) спуск по квадратичной аппроксимации функции J(u) в окрестности u<sub>k</sub>.
* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le \frac{2k}{L}q^{2^k}(1-q^{2^k})^{-1}</m>

==== Метод покоординатного спуска ====

* Сдвигаемся на a<sub>k</sub> в одну из сторон по одной координате по очереди, пока удаётся. Потом переходим к следующей. Потом дробим a.
* '''Т.''' (обоснование сходимости)

==== Метод штрафных функций ====

* Можно также почитать [[machinelearning:Метод штрафных функций]].
* Относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) &rarr; min при огр. g<sub>i</sub> &le; 0 либо = 0 начиная с g<sub>m+1</sub>-ой.
* От задачи переходим к последовательности задач <m>J(u)+A_k P(u) \to min</m>. P(u) — штраф, <m>A_k \to +\inf</m>.
* '''Т.''' (обоснование) индив. штрафы должны давать огран. множество &rArr; всё сходится.

==== Метод барьерных функций ====

* Можно почитать [[machinelearning:Метод штрафных функций#Метод барьерных функций]].
* По сути то же, что и метод штрафных функций, только штраф другого вида.

==== Метод динамического программирования ====

* Нет в МетОптах.
* Можно почитать книжку {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}, страницы 461—464.
* Или просто [[rupedia:Динамическое программирование|Википедию]].
* Идея — поиск пути по минному полю с конца к началу, ибо любой конец оптимальной траектории оптимален (принцип оптимальности Беллмана).
* Вообще-то ещё есть непрерывный аналог, идея та же, реализация на дифф.исчислении и ощутимо мохнатее.

==== Устойчивость задач оптимизации. Метод стабилизации (регуляризация по Тихонову) ====

* '''Опр.''' корректно пост.задача: 1) существует, 2) единственно, 3) из сходимости значений следует сходимость аргументов.
* Суть метода — в отсутствие (3) добавить к J(u) <m>+ \alpha |u|²</m> и минимизировать полученный ''функционал Тихонова''.
* '''Т.''' (обоснование метода).

==== Линейное программирование. Симплекс-метод. Двойственные задачи линейного программирования ====

* '''Опр.''' ЗЛП, каноническая ЗЛП (u &ge; 0), угловая точка, невырожденная угловая точка, невырожденная задача.
* '''Т.''' (критерий угловой точки) (про линейную комбинацию r столбцов матрицы A)
* Симплекс-метод — идея перебора угловых точек в направлении минимизации функции.

== Исследование операций, теория игр ==

Источники — две книжки по тиграм ('''т'''еории '''игр''') Васина и Морозова:
# {{Скачать|А.А.Васин, В.В.Морозов - Теория игр и модели математической экономики.djvu}}
# {{Скачать|Васин, Морозов - Дополнительные главы теории операций - Глава 5 - Теория принятия решений.djvu}} (только 5-я глава).

==== Антагонистические игры. Матричные игры, теорема о минимаксе ====

* '''Опр.''' седловая точка F(x, y); антаг. игра <tt><X,Y,F(x,y)></tt>; игра имеет решение; значение игры; матричная игра; нижнее и верхнее значения игры (sup inf и inf sup); максиминная, минимаксная стратегии.
* '''Л.''' значение игры не зависит от выбора решения.
* '''Л.''' нижнее значение &le; верхнего.
* '''Т.''' (о минимаксе) 1) есть с.т. &hArr; max inf = min sup. 2) с.т. = стратегии максиминная и минимаксная.

==== Выпукло-вогнутые антагонистические игры. Теорема существования седловой точки ====

* '''Опр.''' игра с вогнутой, выпуклой функцией выигрыша.
* '''Т.''' <m>v_{нижн.} = min_{y_j, j=1..m+1} max_x min_j F(x, y_j)</m>
* '''Т.''' (существование решения) <m>x^0 \in X, \psi^0 = \sum_1^{m+1} q_j^0 I_y_j</m>

==== Бескоалиционные игры ''n'' лиц. Равновесие по Нэшу ====

* '''Опр.''' игра n лиц.
* '''Опр.''' (равновесие по Нэшу) от него никому невыгодно отклоняться в одиночку.
* '''Т.''' (существования равновесия)

==== Принцип гарантированного результата. Минимаксные задачи ====

* Из книжки 2.
* Можно почитать http://www.intuit.ru/department/algorithms/opres/2/.
* '''Опр.''' оптимальная стратегия (в предположении пессимизма) (так Гермейер стратегии сравнивал); &epsilon;-оптимальная стратегия, абсолютно оптимальная стратегия.
* '''Т.''' F1 &le; F2 &le; F3 &le; F4. Противник знает x &rarr; не знает &rarr; мы знаем y.

==== Многокритериальная оптимизация. Оптимальность по Парето. Лексикографический подход ====

* Из книжки 2.
* Многокритериальная оптимизация — как выбрать стратегию, если критериев качества несколько?
* Опт. по Парето = «не улучшишь хотя бы один критерий».
* Опт. по Слейтеру = «не улучшишь все критерии разом».
* Лексикографический подход — упорядочиваем их по важности и ORDER BY.

==== Кооперативные игры (''с''-ядро, вектор Шепли) ====

* Игроки делят выручку.
* '''Опр.''' коалиции, хар.функция, супераддитивная, игра, игра с постоянной суммой, вектор дележа, эквив. игры (масштаб-сдвиг), 0-1 редуц. форма игры.
* Индивидуальная разумность — выручку в коалиции не меньше, чем индивидуальная игрока.
* Групповая разумность — выручка любой подкоалиации не меньше, чем её индивидуальная.
* '''Ядро''' (c-ядро) — дележи, удовлетворяющие групповой разумности.
* '''Вектор Шепли''' — состоит из компонент, равных мат.ожиданиям вкладов конкретных игроков.

==== Задача распределения ресурсов (модель Гросса, принцип уравнивания Гермейера) ====

* Из книжки 2.
* Задача 1: максимизируем минимум эффекта по всем пунктам.
* '''Т.''' (пр. ур. Гермейера) оптимальное решение существует и единственно — идея: вначале распределяем ресурсы по наиболее слабым пунктам так, чтобы эффекта им досталось поровну.
* Задача 2: максимизируем сумму эффекта по всем пунктам.
* '''Т.''' (критерий Гросса) аналог уравнивания для производных.

==== Иерархические игры ====

* '''Опр.''' иерархической игры (есть обмен информацией о стратегиях).
* Г<sub>1</sub>: x &rarr; y(x) — Y знает стратегию X.
* Г<sub>2</sub>: f(y) &rarr; y(f(y)) &rarr; x=f(y).
* Г<sub>3</sub>: f<sub>1</sub>(g(x)) &rarr; g(x) &rarr; x=f(g(x)).
* '''Т.''' (Гермейера). В Г<sub>2</sub> гарантированный результат игрока X = максимум из 1) гарантированного результата X при наилучшем ответе Y на стратегию наказания, применяемую к нему X и 2) лучшего результата X в случае, если он позволит Y получить больше, чем в первом случае.

==== Потоки в сетях (теорема Форда-Фалкерсона, задача и алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе, задача составления расписаний, транспортная задача) ====

* В книжках нет.
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Форда — Фалкерсона]], [[rupedia:Транспортная задача]], [[rupedia:Алгоритм Дейкстры]].
* '''Опр.''' транспортная сеть, поток, сечение графа, величина сечения.
* '''Т.''' (Ф-Ф, очевидная — «пропускная способность определяется слабым звеном») максимальный поток между истоком и стоком равен величине минимального сечения.
* Решение транспортной задачи [[rupedia:Транспортная задача#Решение с помощью теории графов|аналогично]] Ф-Ф.
* Поиск кратчайшего пути — динамическое программирование, [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры (жадный)]].

== Оптимальное управление ==

Частично берётся из лекций {{Скачать|Орлов - лекции по оптимальному управлению 2005.pdf}}. Но содержит несколько мистические вопросы — например, 3 последних, для которых связных материалов найти не удалось вообще. Дифференциальные игры можно, конечно, почитать по книге Айзекса 1967-го года, но там про это вся книга (480 страниц), но нам-то кратко надо.

''Специалисты по оптимальному управлению — welcome! Дополните секцию! (и уберите пометки (404) = (не найдено) из заголовков)''

==== Постановка задач оптимального управления, их классификация ====

* '''Опр.''' задача ОУ (дифур, доп.множества, нач.усл., функционал), множество достижимости.
* Задачи: быстродействия, с фикс. временем, с закреплёнными концами, с подвижными концами, с неавтономной системой.

==== Принцип максимума Понтрягина. Краевая задача принципа максимума ====

* '''Опр.''' сопряжённая система, гамильтониан.
* '''Л.''' скалярное произведение решений прямой и сопряжённой систем константно.
* '''Т.''' (ПМП) <m>\forall (u(t), x(t)) \exists \psi(t): \psi' = H_x'</m>, H(x, u,&psi;) достигает максимума, а максимум постоянен на всём отрезке времени.
* '''Т.''' (тоже ПМП, в другом виде) для оптимальной пары, если начальное и конечное множества выпуклы, существует &psi; такое, что верно условие максимума: (u(t),&psi;(t))=c(U,&psi;(t)) и 2 трансверсальности: (x(t<sub>0</sub>),&psi;(t<sub>0</sub>))=c(M<sub>0</sub>,&psi;(t<sub>0</sub>)) и (x(t<sub>1</sub>),-&psi;(t<sub>1</sub>))=c(M<sub>1</sub>,-&psi;(t<sub>1</sub>)).

==== (404) Линейная задача быстродействия, ее свойства (существование решения, число переключений) ====

==== (404) Принцип максимума и вариационное исчисление ====

* Видимо, про те самые вариации Макшейна?

==== (404) Управляемость и наблюдаемость в линейных системах, их взаимосвязь (взаимодвойственность). Теоремы Калмана, Красовского ====

* '''Опр.''' Система полностью управляема, если она может быть переведена из любого начального состояния в начало координат под действием управления u(t) за конечное время.
* '''Т.''' (Калмана) Состояние непрерывной системы (x' = Ax + bu) управляемо, если и только если<br />rang N<sub>y</sub>=[b | Ab | A²b | … | A<sup>n-1</sup>b] = n.

==== (404) Метод динамической регуляризации в задаче наблюдения ====

==== (404) Дифференциальные игры ====

== Дискретная оптимизация ==

Берётся из {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}, а также из {{Скачать|Алексеев - лекции по сложности комбинаторных алгоритмов.pdf}}.

=== Целочисленное линейное программирование (метод Гомори, свойства унимодулярности матрицы ограничений) ===

* '''Опр.''' задача ЦЛП (ЛП + x {{in}} Z), унимодулярность матрицы (|det|=1).
* К ней можно многое свести (коммивояжера, расписание, выполнимость КНФ), а вот решать округлением лучше не надо :) также к ней сводятся «нелинейности» — барьер, дихотомия, дискретные переменные.
* '''Т.''' A унимод. &rArr; для целых b угловые точки целочисленны.
* Метод отсечений Гомори — добавляем ограничения, не отсекающие целочисленных точек — целая часть i-ой строки с = заменённым на &ge;.

=== Метод ветвей и границ (на примере задач целочисленного или булева линейного программирования) ===

* Идея — разбиваем задачу на две взаимодополняющих задачи (либо нецелая x<sub>i</sub> &le; целой части, либо &ge; целой части + 1).
* Вторая идея — при ветвлениях можно не идти во всю глубину, так как меньше чем найденное не-целочисленное решение уже не будет. Если есть другое решение, дающее лучший результат — стоп.
* Ещё пример — [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]]. ЦЛП здесь не важно.

=== Временная сложность решения задач дискретной оптимизации. Основные классы сложности (''P'', ''NP'', ''NPC'') ===

* '''Опр.''' f полиномиально сводится к g, P, NP, NP-полные (NPC).

=== ''NP''-трудные задачи (задача о рюкзаке, задача коммивояжера) ===

* Можно также почитать [[rupedia:Задача о ранце]], [[rupedia:Задача коммивояжёра]].
* ЗР: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.
* ЗК: отыскание самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город.

== Теория функциональных систем ==

Берётся снова из {{Скачать|Яблонский - Введение в дискретную математику.djvu}}.

==== Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики ''P''<sub>2</sub> ====

* Формула над системой {''f<sub>k</sub>''}: 1) ''f<sub>i</sub>''- формула 2) ''f<sub>i</sub>''(''A<sub>1</sub>'',…,''A<sub>n</sub>'') — формула, где A — переменная либо формула.
* Полнота системы {''f<sub>k</sub>''}: все функции из ''P''<sub>2</sub> можно выразить формулами над {''f<sub>k</sub>''}.
* Замкнутый класс — все формулы над функциями из класса принадлежат тому же классу.
* Замкнутые классы: ''T<sub>0</sub>'' (f(0,0…0)=0), ''T<sub>1</sub>'' (f(1,1…1)=1), ''S'' (f(!x<sub>1</sub>,!x<sub>2</sub>,…!x<sub>n</sub>) = !f(!x<sub>1</sub>,!x<sub>2</sub>,…!x<sub>n</sub>)), ''M'' (1й набор по всем переменным &ge; 2го, тогда f(1го)&ge;f(2го)), ''L'' (формула над +, &, 1, 0, оно же полином Жегалкина)
* Теорема о полноте: если система не входит полностью ни в одно из ''T<sub>0</sub>'', ''T<sub>1</sub>'', ''S'', ''M'', ''L'' — то она полна. Доказывается через получение констант 0 и 1 из не входящих в ''T<sub>0</sub>'', ''T<sub>1</sub>'' и ''S'', из них и функции, не принадлежащей ''L''- отрицания, и из них, отрицания и функции, не принадлежащей ''M'' — дизъюнкции.

==== Алгоритм распознавания полноты систем функций ''k''-значной логики ''P<sub>k</sub>'' ====

* '''Т.''' существует алгоритм анализа системы на полноту. («в лоб»)<br /> '''Док-во:''' строим мн-ва функций от 2х переменных, подставляя в функции из нашей системы либо функции от 2х переменных с предыдущего шага, либо просто переменную x<sub>1</sub> или x<sub>2</sub>. Так как функций k-значной логики у нас конечное количество, то рано или поздно множество окажется замкнутым. Если оно совпадает со всеми функциями 2х переменных — то система полна, иначе нет.
* Предыдущий результат с практической т.з. бесполезен, ибо задолбаешься так проверять =) Поэтому мы сначала введем понятие функции, сохраняющей множество (см. опять же предыдущий вопрос, только тут не 0 и 1, а произвольные множества — причем замкнутость класса, сохраняющего множество, есть всегда, независимо от того, какое это множество), а потом! Мы докажем…
* '''Т.''' (о функциональной полноте, Кузнецова) про то, что и в k-значной логике можно построить аналоги 5 классов из бинарной (см. теорему о полноте на 1 вопрос выше), то есть если система полностью не вложена ни в 1 из них- то она полна.
* И все равно нам это не поможет, потому что такие классы задолбаешься строить (вроде бы для 3 и 4-значной логики сделали, для остальных — нишмагли). Поэтому придумали теорему Слупецкого…

==== Теорема Слупецкого ====

* …которая в обобщенном виде гласит, что если система содержит все функции 1й переменной, принимающие не более k-1 значений (в необобщенном виде — просто все функции 1й переменной), то для полноты н. и д., чтобы она содержала еще существенную (то есть зависящую от 2+ переменных) функцию, принимающую k значений. Подробнее про док-во — в Яблонском, там несколько длинных (по доказательству) лемм.
* Это уже хорошо, но всех функций 1й переменной, принимающих не более k-1 значений, все равно очень много. Поэтому проще искать «базисы» для таких функций, примеры см. в Яблонском, с.64-65.

==== Особенности ''k''-значных логик ====

* В бинарной логике каждый замкнутый класс имеет конечный базис; всего их счётное число; всякую функцию можно записать полиномом.
* А в k-значной — нифига.
* '''Т.''' (Янова) для всякого k&ge;3 в P<sub>k</sub> {{exists}} замкнутый класс, не имеющий базиса.
* '''Т.''' (Мучника) для всякого k&ge;3 в P<sub>k</sub> {{exists}} замкнутый класс, имеющий счётный базис.
* '''Т.''' для всякого k&ge;3 в P<sub>k</sub> {{exists}} континуум различных замкнутых классов.
* '''Т.''' система полиномов в P<sub>k</sub> полна &hArr; k — простое число.

==== Автоматы. Регулярные события и их представление в автоматах ====

==== Эксперименты с автоматами ====

* Берётся из {{Скачать|Алексеев - лекции по дискретной математике 2002.pdf}}.
* '''Опр.''' автомат с выходом, отличимые состояния, эксперимент.
* '''Л.''' (о существовании отличимых экспериментом данной длины состояний)
* '''Т.''' (Мура) (о максимальной длине эксперимента, +пример)
* '''Т.''' (про отличимые состояния разных автоматов)
* '''Т.''' (о макс. длине эксп. отличающего состояния двух автоматов, +пример)

==== Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов ====

==== Вычислимые функции. Эквивалентность класса рекурсивных функций и класса функций, вычислимых на машинах Тьюринга ====

==== Алгоритмическая неразрешимость проблемы эквивалентности слов в ассоциативных исчислениях ====

* Берётся из {{Скачать|Мальцев - Алгоритмы и рекурсивные функции.djvu}}, стр. 254.
* '''Опр.''' полугруппа, система порождающих, определяющие соотношения, умножение классов.
* '''Опр.''' ассоциативного исчисления (набор замен); эквивалентные слова.
* '''Т.''' (Пост, Марков) {{exists}} ассоциативное исчисление с алгоритмически неразрешимой проблемой эквивалентности слов.

== Комбинаторный анализ и теория графов ==

Берётся из книжек:

# {{Скачать|Яблонский - Введение в дискретную математику.djvu}}
# {{Скачать|Оре - Теория графов.djvu}}

==== Основные комбинаторные числа ====

Число '''подмножеств''' множества = 2<sup>|M|</sup>.

[[rupedia:Размещение|Число '''размещений''']] элементов из n по k = (n)<sub>k</sub> (убывающий факториал).

Число '''перестановок''' n элементов = n!.

e = <m>lim(1+\frac{1}{n})^n</m>

[[rupedia:Сочетание|Число '''сочетаний''']] из n по k, или же биномиальный коэффициент <m>{n \choose k} = C_n^k = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}</m>.

Число '''сочетаний с повторениями''' из n по k <m>H_n^k = {n+k-1 \choose k}</m>

[[rupedia:Мультиномиальный коэффициент|Число разбиений]] n-элементного множества на множества мощностей <m>n_1, \dots, n_m</m> равняется <m>{n\choose n_1,\ n_2,\ \dots,\ n_m} = \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_m!}</m>.

Число разбиений n-элементного множества на k множеств (число Стирлинга) <m>\Phi(n, k) = \frac{1}{k!}\sum_{n_1+\dots+n_k=n, n_i>0} \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}</m> и число всех разбиений (число Белла) <m>\Phi(n) = \sum_{k=0}^{n} \Phi(n, k) = \sum_0^{n-1}{n-1 \choose i}\Phi(i)</m>

==== Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел ====

* '''Т.''' (логарифм факториала) ln n! ~ (n+0.5) ln n
* '''Т.''' (формула Стирлинга) n! ~ <m>a\sqrt{n}n^n e^{-n}</m>
* '''Т.''' (корень квадратный из пи)
* '''Т.''' (число сочетаний)
* '''Т.''' (сумма числа сочетаний)
* '''Т.''' (числа Белла)

==== Графы и сети. Оценки числа графов и сетей различных типов ====

* '''Опр.''' граф, цикл, петля, связный граф, сеть, степень сети, степенная структура сети
* '''Т.''' число графов c h рёбрами без изол.вершин меньше a(bh)<sup>h</sup>, a, b = Const.
* '''Т.''' число укладок деревьев с h рёбрами меньше 4<sup>h</sup>.
* '''Т.''' (Лупанова) число сетей с заданной степ.структурой &le; c<sup>h</sup>h<sup>(&mu;-1)h</sup>, c зависит только от числа полюсов, средней степени и числа наборов.

==== Плоские и планарные графы. Формула Эйлера для плоских графов. Необходимые условия планарности в теореме Понтрягина—Куратовского (без доказательства достаточности) ====

* Можно почитать [[rupedia:Планарный граф]].
* '''Т.''' (П-К) — это про то, что граф планарен, если не содержит гомеоморфных K<sub>5</sub> и K<sub>3,3</sub> подграфов.
* '''Т.''' (ф-ла Эйлера) ''Вершин − Ребёр + Граней = 2'' у всякого связного плоского графа.

==== Экстремальная теория графов. Теорема Турана ====

* Можно также почитать [[rupedia:Теорема Турана]].
* '''Т.''' (Турана) (макс. количество ребёр в графе, не содержащем полного n-вершинного подграфа)

==== Теорема Рамсея ====

* Можно также почитать [[rupedia:Теорема Рамсея]].
* '''Т.''' (Рамсея) («полная неупорядоченность невозможна») для любого набора классов сочетаний r элементов в любом достаточно большом множестве всегда найдётся подмножество, все сочетания r элементов которого будут принадлежать одному классу.
* Условно говоря, если на вечеринке 6 человек, то либо какие-то 3 из них все друг с другом знакомы, либо какие-то 3 из них друг с другом незнакомы.
* Правда «достаточно большое множество» — '''очень большое'''.

== Теория кодирования ==

Первые 3 вопроса берутся из {{Скачать|Яблонский - Введение в дискретную математику.djvu}}, можно также (но хуже) из лекций Алексеева: {{Скачать|Алексеев - лекции по дискретной математике 2002.pdf}}.

Другие 2 можно прочитать в {{Скачать|Макмиллан, Слоэн - Теория кодов, исправляющих ошибки.djvu}}.

==== Алфавитное кодирование. Критерии однозначности декодирования. Неравенство Крафта—Макмиллана ====

* '''Опр.''' кодирование: алфавитное, взаимно однозначное, равномерное, префиксное, постфиксное; неприводимое слово.
* '''Т.''' (Маркова) если кодирование неоднозначно, существуют два слова не длиннее целой части 0.5(W+1)(L-r+2), имеющие одинаковый код.
* '''Т.''' (Макмиллана) если кодирование однозначно, то <m>\sum{i=1}{r}\frac{1}{q^{l_i}} \le 1</m>.

==== Оптимальное кодирование. Построение кодов с минимальной избыточностью ====

* '''Опр.''' цена кода, оптимальный код, код Хаффмана.
* '''У.''' если существует оптимальный код, существует оптимальный префиксный код с теми же длинами слов.
* Алгоритм построения кода с мин.избыточностью — редукция списка вероятностей.
* ''Отсебятина: а ещё есть [[rupedia:Арифметическое кодирование|арифметик]]…''

==== Самокорректирующиеся коды. Граница упаковки. Коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку ====

* '''Опр.''' самокорректирующиеся коды.
* [[rupedia:Код Хемминга]] — исправляющий одну ошибку равномерный код, в котором i-ый контрольный разряд — сумма информационных разрядов с номерами, включающими 1 в i-ой позиции двоичной записи.
* '''Т.''' расстояние между любыми двумя кодовыми словами кода Хэмминга &ge; 3.
* '''Т.''' расстояние между кодовыми словами кода, исправляющего k ошибок &ge; 2k+1.

==== Конечные поля и их основные свойства ====

* Можно почитать [[rupedia:Кольцо (математика)]], [[rupedia:Конечное поле]].
* Поле — коммутативное кольцо с единицей, в котором для всякого ненулевого элемента есть обратный.
* Поле Галуа GF(n) — [[rupedia:Конечное поле|конечное поле]].
* Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = p<sup>n</sup> элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x<sup>q</sup>-x.

==== Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема ====

* Можно почитать [[rupedia:Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема]], [[rupedia:Циклический код]] (а в CD-ROM’ах используется [[rupedia:Код Рида — Соломона]]).
* Коды БЧХ — «обобщение» Хэмминга на случай двух ошибок. Требование решения системы уравнений относительно i и j (позиций ошибок) как раз и приводит к полям…
* '''Опр.''' циклический код, порождающий полином, проверочная матрица.
* '''Т.''' коды БЧХ — циклические коды, задаваемые порождающим полиномом.
* '''Т.''' о границе БЧХ.

== Управляющие системы ==

Вопрос тут один, ёмкий, аки нецензурное послание.

==== Понятие управляющей системы. Основные модельные классы управляющих систем: дизъюнктивные нормальные формы, формулы, контактные схемы, схемы из функциональных элементов, автоматы, машины Тьюринга, операторные алгоритмы. Основные проблемы теории управляющих систем ====

Берётся он из {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}.

* Управляющая система — типа задаёт поведение некоторой системы.
* '''Опр.''' элементарные конъюнкции, ДНФ, КНФ; формула; эквивалентные формулы; КС; эквивалентные КС (&hArr; эквив. все формулы); СФЭ; [[rupedia:Абстрактный автомат|автомат]]; [[rupedia:Машина Тьюринга|МТ]] (ДМТ, НМТ?).
* Операторные алгоритмы — последовательность приказов, приказ = операция + два номера других приказа (ветвление определён / не определён), либо «СТОП».
* Основные задачи:
*# Синтез минимальных по сложности систем.
*# Эквивалентные преобразования.
*# Контроль и надёжность.

== Дизъюнктивные нормальные формы ==

Берётся из лекций Ложкина по ОК: {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}.

==== Проблема минимизации булевых функций. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ). Постановка задачи в геометрической форме ====

==== Локальные алгоритмы построения ДНФ. Построение ДНФ ''∑Т'' (сумма тупиковых) с помощью локального алгоритма ====

* '''Опр.''' тупиковая ДНФ, ДНФ ΣT и {{cap}}T, ядровая точка, ядровая грань, ядро; пучок, регулярные и нерегулярные точки, регулярные грани; окрестность порядка r, ДНФ Квайна; локальный алгоритм.
* '''Л.''' (о составе ДНФ {{cap}}T)
* '''Т.''' (Журавлева) (о составе ДНФ ΣT), идея о покрытии регулярных точек гранями из меньшего пучка.

==== Невозможность построения ДНФ ''∑М'' (сумма минимальных) в классе локальных алгоритмов ====

* '''Опр.''' ДНФ ΣM, цепная функция.
* '''Т.''' (Журавлева) (неприменимость локального алгоритма для построения ДНФ ΣM цепной функции).

== Синтез и сложность управляющих систем ==

Берётся всё из тех же лекций Ложкина: {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}.

==== Асимптотически оптимальный метод синтеза схем из функциональных элементов ====

* '''Опр.''' дискретно-универсальное множество функций.
* '''Т.''' (Лупанова) о верхней оценке функции Шеннона в классе СФЭ.
* '''Сл.''' (асимптотика функции Шеннона).

==== Асимптотически оптимальный метод синтеза контактных схем ====

* '''Опр.''' m-регулярное множество.
* '''Т.''' (Лупанова) то же, но в классе КС.
* Идея метода Лупанова: разложение функции по подфункциям и полосам, построение суперпозиции КС на основе m-регулярного множества.

==== Инвариантные классы и их свойства ====

* Берётся из {{Скачать|Сапоженко - Некоторые вопросы сложности алгоритмов.djvu}}.
* '''Опр.''' инв.класс, характеристика ИК, сложная функция, правильный алгоритм.
* Пример ИК с характеристикой 0.5.
* '''Т.''' (Яблонского) о существовании ИК с заданной характеристикой.
* '''Т.''' (Яблонского) о работе правильного алгоритма, строящего сложную последовательность функций.

==== Синтез схем для функций из некоторых инвариантных классов ====

* Из Сапоженко и Ложкина.
* '''Т.''' (Лупанова) о верхней оценке функции Шеннона для ИК с заданной характеристикой.
* '''Т.''' о нижней мощностной оценке функции Шеннона для ИК с характеристикой, большей 1.

==== Нижние оценки сложности реализации булевых функций параллельно-последовательными контактными схемами ====

* Соотношение между π-схемами и формулами с поднятыми отрицаниями.
* '''Опр.''' каркас.
* Оценка числа формул данной сложности на основе количества каркасов и способов подстановки переменных.
* '''Л.''' о верхней оценке количества π-схем данной сложности через число формул.
* '''Л.''' об обращении степенного неравенства.
* Принцип получения нижних оценок функции Шеннона.
* '''Т.''' о нижней оценке функции Шеннона.

==== Нижние оценки сложности реализации булевых функций формулами в произвольном базисе ====

* '''Опр.''' приведенный вес, каркас.
* '''Л.''' о соотношении между рангом формулы, ее сложностью и приведенным весом.
* Оценка числа формул данной сложности на основе количества каркасов и способов подстановки переменных.

== Эквивалентные преобразования управляющих систем ==

Опять-таки берётся из лекций Ложкина {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}, кроме примера Линдона, который можно взять из методички Алексеева {{Скачать|Алексеев и др. - Задачи по курсу Основы кибернетики.djvu}}.

==== Эквивалентные преобразования формул двузначной логики ''Р''<sub>2</sub> ====

* '''Опр.''' тождество, выводимость, эквивалентное преобразование.
* Тождества: ассоциативности, коммутативности, отождествления переменных, де Моргана, дистрибутивности, поглощения, подстановки констант.
* '''Т.''' Основная и расширенная системы тождеств эквивалентны.
* '''Т.''' основной система тождеств полна (поднятие отрицаний &rarr; раскрытие скобок &rarr; приведение подобных, переход к совершенной ДНФ).

==== Эквивалентные преобразования контактных схем ====

* '''Опр.''' тождества основные, вспомогательные, обобщенные, каноническая КС, каноническая цепь, цикломатическое число графа (компонент связности + рёбер — вершин), контактной схемы.
* '''Т.''' основная система тождеств полна (принцип индукции &rarr; расширение контактов &rarr; применение тождества «звезда» &rarr; добавление фиктивных цепей &rarr; удаление вершины &rarr; удаление висячих и параллельных цепей &rarr; удаление транзитной проводимости).
* '''Л.''' (об изменении цикломатического числа при эквивалентных преобразованиях).
* '''Т.''' (о неполноте любой конечной системы тождеств).

==== (404) Эквивалентные преобразования операторных алгоритмов ====

''Специалисты, welcome — дополните секцию и уберите пометку (404) из заголовка!''

==== Пример Линдона ====

* '''Опр.''' функция Линдона (которая с 1 5 6).
* Основные тождества и их вывод, преобразование к каноническому виду и его единственность.
* '''Т.''' Полнота системы тождеств.
* Свойство C<sup>n</sup> и его инвариантность относительно применения тождеств.
* Невыводимость тождеств.
* '''Т.''' {{notexists}} КПСТ.

== Надежность и контроль функционирования управляющих систем ==

==== Построение надежных контактных схем из ненадежных контактов ====

* Из методички по ОК: {{Скачать|Алексеев и др. - Задачи по курсу Основы кибернетики.djvu}}.
* Логико-комбинаторный подход к понятию неисправности. Понятие самокоррекции.
* Способы построения самокорректирующихся КС.
* Представление об асимптотически наилучшем методе синтеза самокорректирующихся КС.

==== Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты ====

* Из лекций Ложкина: {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}.
* Модель источника неисправности и ненадежной схемы (N состояний, реализуемых при неисправностях).
* '''Опр.''' отделимая по столбцам матрица; таблица контроля, цель контроля; диагностика схемы, проверка исправности схемы; тесты: минимальный, тупиковый, диагностический, проверяющий; функция теста.
* '''Л.''' (о формуле для функции теста)
* '''Л.''' (о длине диагностического теста)

== Математическая экономика ==

Почти вся берётся из лекций [[rupedia:Шананин,_Александр_Алексеевич|Шананина]]: {{Скачать|Шананин А.А. - Лекции по математическим моделям в экономике 1999.pdf}}.

==== Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц ====

* x-Ax=w, w&ge;0, x&ge;0 — модель Леонтьева.
* '''Опр.''' продуктивная матрица ({{exists}}x: x-Ax>0 или Dx>0), разложимая матрица.
* '''Т.''' (критерии продуктивности) (про любое w и миноры — условия Хокинса-Саймона)
* '''Т.''' (Ф-П — про ограничения модулем с.з.) A&ge;0 &rArr; есть с.з. и с.в.&ge;0, (pE-A)<sup>-1</sup>>0 &hArr; p > &lambda;(A), Ay &ge; &mu;y &hArr; &mu; &le; &lambda;(A), |с.з| &le; &lambda;(A).
* '''Т.''' (свойства) не меняется от <sup>T</sup>; сохраняет умножение, степень, &ge; для полож.опр.; =0 когда матрица степенью уходит в 0.
* '''T.''' (об уст.матрицах)

==== Динамическая модель В. В. Леонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Перрона ====

* '''Опр.''' динам.модель Леонтьева (cx &rarr; max, Ax(t+1) &le; x(t)); магистраль (отклоняется не больше чем на заданный угол).
* '''Т.''' (Моришимы) вектор Ф-П матрицы A — магистраль для семейства решений д.м. Л.

==== Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования ====

* Прямая задача — максимизируем прибыль при ограничениях на трудозатраты (не больше).
* Обратная задача — минимизируем зарплату при ограничениях на внутренние цены (не меньше).

==== Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона ====

* Типа, сколько надо просить за опцион, чтобы потом было на что реализовать право покупателя.
* Упрощённая модель, есть две цены акции — «верхняя» и «нижняя».
* <m>\sum{2^n+1}{2^{n+1}}p(j)b(j) = \beta(1)b(1) + \gamma(1)s(1)</m>

==== Модель олигополистической конкуренции Курно. Теорема Нэша ====

* '''Опр.''' (бояны) игра N игроков, равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Нэша) (боян) игра с непрерывной вогнутой по каждому x функцией имеет равновесие по Нэшу.
* Модель Курно: чем больше берём, тем меньше платим.<br /><m>u_i(x) = P(\sum_1^n x_j)x_i-c_i(x_i)</m> — целевая функция (c<sub>i</sub> — издержки).
* '''Т.''' (существования решения) c(x) и P(x) {{in}} C², издержки возрастают и выпуклы, P(x) неотрицательна и убывает в 0 (есть насыщение) &rArr; {{exists}}! равновесие по Нэшу.

==== Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи дополнительности. Замкнутость отображений спроса и предложения. Теорема Эрроу—Дебре ====

* '''Опр.''' совершенная конкуренция.
* '''Т.''' (Э-Д) (существования конкурентного равновесия с кучей условий)

==== Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла — Никайдо — Дебре. Теорема Фань-Цзы ====

* Отсебятина: на неподвижных точках, между прочим, [[rupedia:Алгоритм фрактального сжатия|фрактальное сжатие]] работает. Правда, не на Брауэре, а на Банахе, но это не важно.
* '''Т.''' (Брауэра) у непрерывного отображения выпуклого компакта в себя есть неподвижная точка (f(x)=x).
* '''Опр.''' многозначное отображение, замкнутое м/о.
* '''Т.''' (Какутани) у замкнутого непустого ({{notexists}} x: f(x) = {{emptyset}}) м/о, существует неподвижная точка (x {{in}} f(x)).
* '''Л.''' (Г-Н-Д) замкнутое непустое выпуклое ({{forall}}x f(x) выпукло) м/о из пространства весовых векторов (сумма неотриц. компонент=1) в 2<sup>Rn</sup> и такое, что {{forall}}p, u{{in}}f(p) pu&ge;0 переводит хотя бы один x хотя бы в один неотрицательный вектор.

==== Оптимальность по Парето конкурентного равновесия (первая теорема теории благосостояния). Теорема Дебре (вторая теорема теории благосостояния). Сравнительная статика в моделях конкурентного равновесия ====

* Можно почитать [[rupedia:Первая теорема благосостояния]], [[rupedia:Вторая теорема благосостояния]].
* '''Т.''' (1-ая) конкурентное равновесие оптимально по Парето.
* '''Т.''' (2-ая) на рынке Парето-оптимальное состояние можно реализовать в качестве равновесия.
* Сравнительная статика: по идее это сравнение «снимков» состояния без прямого учёта фактора времени, но где почитать именно про равновесие — неизвестно.

==== Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу ====

* Можно почитать [[rupedia:Теорема Эрроу]], [[rupedia:Парадокс Кондорсе]].
* Есть избиратели, сортирующие кандидатов. Есть система выборов, строящая заключительный список, отсортированный по «общему убыванию».
* Классная вещь — Эрроу доказал, что такие выборы чисто математически не могут быть «разумными»!
* Не может быть одновременно: универсальность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив + принцип единогласия.
* Также не может быть: универсальность + полнота + монотонность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив.

==== Индексы неравенства и кривая Лоренца. Теорема мажоризации ====

* Можно почитать стр.11-21 книжки {{Скачать|Маршалл, Олкин - Неравенства - теория мажоризации и ее приложения.djvu}}.
* По сути: один конечный ряд (y) мажорирует другой (x), если сумма та же, а кривая x лежит ниже y.
* Началось со сравнения Лоренцом распределения богатства — чем больше концентрация богатства, тем кривее.
* И попёрли развивать какую-то левую теорию, мажоризация, слабая мажоризация, мажоризация как частичное упорядочение<span style="color:#a0a0a0">'', такая мажоризация, сякая мажоризация, групповая мажоризация, любительская мажоризация, извращённая мажоризация''</span>…

== Литература ==

* {{Скачать|Лекции по методам оптимизации 2003.pdf}}
* {{Скачать|Орлов - лекции по оптимальному управлению 2005.pdf}}
* {{Скачать|Шананин А.А. - Лекции по математическим моделям в экономике 1999.pdf}}
* {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}
* {{Скачать|Алексеев - лекции по дискретной математике 2002.pdf}}
* {{Скачать|Алексеев и др. - Задачи по курсу Основы кибернетики.djvu}}
* {{Скачать|Сапоженко - Некоторые вопросы сложности алгоритмов.djvu}}
* {{Скачать|А.А.Васин, В.В.Морозов - Теория игр и модели математической экономики.djvu}}
* {{Скачать|Васин, Морозов - Дополнительные главы теории операций - Глава 5 - Теория принятия решений.djvu}}
* {{Скачать|Яблонский - Введение в дискретную математику.djvu}}
* {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}
* {{Скачать|Оре - Теория графов.djvu}}
* {{Скачать|Макмиллан, Слоэн - Теория кодов, исправляющих ошибки.djvu}}
* {{Скачать|Алексеев - лекции по сложности комбинаторных алгоритмов.pdf}}
* {{Скачать|Мальцев - Алгоритмы и рекурсивные функции.djvu}}
* {{Скачать|Маршалл, Олкин - Неравенства - теория мажоризации и ее приложения.djvu}}

[[Категория:Кандаминимум]]