Кандаминимум 010109 - ответы доп.специальности (Дедус) — различия между версиями

Версия 22:58, 24 ноября 2009

Также см. mlwiki:Метод наименьших квадратов.
Задача — построение регрессий / аналитических описаний каких-то измерений. МНК — минимизация квадрата отклонения значений, вычисленных аналитически, от экспериментальных значений.
Приходит к решению , то есть .
Есть проблемы в случае плохой обусловленности матрицы, нужно юзать mlwiki:Сингулярное разложение.
И, что важно (!) Если просто , то при увеличении точности нужно пересчитывать все коэффициенты.

Чебышев решил использовать при разложении системы ортогональных функций — тогда коэффициенты пересчитывать не нужно, это будут просто коэф. ряда Фурье (скалярные произведения на функции базиса).
Опр. L₂, скалярное произведение, ортогональные функции, полная система, замкнутая система, ряд Фурье.
Т. (Фурье) конечный отрезок ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение.

Неравенство Бесселя:
.
В пределе при для полных систем переходит в
равенство Парсеваля: , где c_n — коэффициенты ряда Фурье функции f.
Равенство Ляпунова-Стеклова = равенство Парсеваля в пространстве функций.
Свойство жёсткости разложения — как раз то, что пересчитывать коэффициенты при увеличении точности не нужно.

@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 == Равенство Ляпунова-Стеклова. Равенство Парсеваля. Свойство жёсткости разложения ==
+* Неравенство Бесселя: <br /> <m>\sum_{n=1}^{N}|c_n|² \le \|f\|²</m>. <br /> В пределе при <m>N \to \infty</m> для полных систем переходит в <br />равенство Парсеваля: <m>\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|² \le \|f\|²</m>, где c<sub>n</sub> — коэффициенты ряда Фурье функции f.
+* Равенство Ляпунова-Стеклова = равенство Парсеваля в пространстве функций.
+* Свойство жёсткости разложения — как раз то, что пересчитывать коэффициенты при увеличении точности не нужно.
 == Классические ортогональные базисы. Их основные свойства ==