Кандаминимум 010109 - ответы доп.специальности (Дедус) — различия между версиями

Материал из YourcmcWiki
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Равенство Ляпунова-Стеклова. Равенство Парсеваля. Свойство жёсткости разложения)
(→‎Классические ортогональные базисы. Их основные свойства)
Строка 22: Строка 22:
  
 
== Классические ортогональные базисы. Их основные свойства ==
 
== Классические ортогональные базисы. Их основные свойства ==
 +
 +
* Определяются одним из 3-х свойств:
 +
** Их производные также образуют ортогональную систему.
 +
** Удовлетворяют гипергеометрическому дифуру.
 +
** Обобщённая формула Родрига: <m>\phi_n(x) = \frac{1}{K_n \rho(x)}\frac{d^n(\rho(x)X^n)}{dx^n}</m>.
 +
* Также для них есть рекуррентные соотношения, связывающие 3 любые последовательных функции.
 +
 +
Базисы:
 +
 +
# [-1; 1]. Якоби — с весовой функцией <m>\rho(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta</m>.
 +
#* Гегенбауэра: &alpha; = &beta; = &lambda; — 0.5.
 +
#** Чебышева I рода: &lambda; = 0.
 +
#** Чебышева II рода: &lambda; = 1.
 +
#** Лежандра: &lambda; = 0.5 (весовая функция = 1).
 +
# (0; +&infin;) Сонина-Лагерра: <m>\rho(x) = x^\alpha e^{-x}</m>
 +
#* Лагерра: &alpha; = 0.
 +
# (-&infin;; +&infin;) Эрмита: <m>\rho(x) = e^{-x²}</m>
  
 
== Вычисление коэффициентов разложения. Роль квадратурных формул Гаусса ==
 
== Вычисление коэффициентов разложения. Роль квадратурных формул Гаусса ==

Версия 23:09, 24 ноября 2009

Берётся в основном из книжки Дедуса Дедус - Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных сигналов.pdf (application/pdf, 1,9 МБ).

Метод наименьших квадратов

  • Также см. mlwiki:Метод наименьших квадратов.
  • Задача — построение регрессий / аналитических описаний каких-то измерений. МНК — минимизация квадрата отклонения значений, вычисленных аналитически, от экспериментальных значений.
  • Приходит к решению , то есть .
  • Есть проблемы в случае плохой обусловленности матрицы, нужно юзать mlwiki:Сингулярное разложение.
  • И, что важно (!) Если просто , то при увеличении точности нужно пересчитывать все коэффициенты.

Спектральная реализация метода наименьших квадратов

  • Чебышев решил использовать при разложении системы ортогональных функций — тогда коэффициенты пересчитывать не нужно, это будут просто коэф. ряда Фурье (скалярные произведения на функции базиса).
  • Опр. L2, скалярное произведение, ортогональные функции, полная система, замкнутая система, ряд Фурье.
  • Т. (Фурье) конечный отрезок ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение.

Равенство Ляпунова-Стеклова. Равенство Парсеваля. Свойство жёсткости разложения

  • Неравенство Бесселя:
    .
    В пределе при для полных систем переходит в
    равенство Парсеваля: , где cn — коэффициенты ряда Фурье функции f.
  • Равенство Ляпунова-Стеклова = равенство Парсеваля в пространстве функций.
  • Свойство жёсткости разложения — как раз то, что пересчитывать коэффициенты при увеличении точности не нужно.

Классические ортогональные базисы. Их основные свойства

  • Определяются одним из 3-х свойств:
    • Их производные также образуют ортогональную систему.
    • Удовлетворяют гипергеометрическому дифуру.
    • Обобщённая формула Родрига: .
  • Также для них есть рекуррентные соотношения, связывающие 3 любые последовательных функции.

Базисы:

  1. [-1; 1]. Якоби — с весовой функцией .
    • Гегенбауэра: α = β = λ — 0.5.
      • Чебышева I рода: λ = 0.
      • Чебышева II рода: λ = 1.
      • Лежандра: λ = 0.5 (весовая функция = 1).
  2. (0; +∞) Сонина-Лагерра:
    • Лагерра: α = 0.
  3. (-∞; +∞) Эрмита:

Вычисление коэффициентов разложения. Роль квадратурных формул Гаусса

Оператор умножения на функцию. Деление сигналов

Алгебра спектральных преобразований. Использование рекуррентных соотношений

Использование соотношений в пространстве коэффициентов разложения для распознавания образов и анализа сцен

Интегральные оценки сигналов. Коэффициент формы сигнала

Интегральное преобразование Фурье. Собственные функции

Источник — «http://yourcmc.ru/wiki/index.php?title=Кандаминимум_010109_-_ответы_доп.специальности_(Дедус)&oldid=2357»