13 521
правка
Изменения
м
Нет описания правки
== Метод наименьших квадратов ==
* Также см. [[mlwikimachinelearning:Метод наименьших квадратов]].
* Задача — построение регрессий / аналитических описаний каких-то измерений. МНК — минимизация квадрата отклонения значений, вычисленных аналитически, от экспериментальных значений.
* Приходит к решению <m>A^TAw=A^Ty</m>, то есть <m>w=(A^TA)^{-1}(A^Ty)</m>.
* Есть проблемы в случае плохой обусловленности матрицы, нужно юзать [[mlwikimachinelearning:Сингулярное разложение]].
* И, что важно (!) Если просто <m>x^k</m>, то при увеличении точности нужно пересчитывать все коэффициенты.
== Вычисление коэффициентов разложения. Роль квадратурных формул Гаусса ==
* Можно почитать [[rupedia:Численное интегрирование#Метод Гаусса]].
* В книжке Дедуса стр. 59.
* Квадратуры Гаусса по k точкам точны для полиномов степени не выше 2k-1.
* Узлы = корням полинома p<sub>k</sub>(x), соответствующего заданной весовой функции.
* Веса находятся по формулам…
* Роль: позволяют классической ОНС непрерывного аргумента сопоставить ОНС дискретного аргумента.
== Оператор умножения на функцию. Деление сигналов ==
* Идея — вычислить коэффициенты ряда произведения функций, не вычисляя само произведение: <br /> <m>c_k = \sum_{0}^{N-1} \sum_{0}^{N-1} \delta_{ijk} a_i b_j</m>, где <m>\delta_{ijk} = \int \psi_i(x)\psi_j(x)\psi_k(x)\rho(x)dx</m>
* В матричной форме c = Ba, B — оператор умножения на b.
* Деление: a = B<sup>-1</sup>c(x) — обратная задача.
* '''Утв.''' Матрица оператора умножения симметрична.
* '''Утв.''' Матрица оператора положительно определена, если функция b положительна.
* '''Утв.''' Макс. и мин. с.з. оператора ограничены по модулю макс. и мин. функции b.
== Алгебра спектральных преобразований. Использование рекуррентных соотношений ==
* По ходу, имеется ввиду диссер Руслануса: {{Скачать|Тетуев Р.К. - Алгебра спектральных преобразований в задачах обработки данных.pdf}}.
* '''Т.''' Если A — линейный оператор и существуют рекуррентные соотношения для A(всех базисных функций) относительно A(предыдущих базисных функций) и самих базисных функций, существует алгоритм линейной сложности для вычисления A(f).
* Рассматриваются операторы интегрирования, дифференцирования, умножения на x, деления на x.
* Плюс метод «каскада и диффузии» — рекуррентное соотношение разделяется на два — относительно A(предыдущих базисных функций) и относительно самих базисных функций.
== Использование соотношений в пространстве коэффициентов разложения для распознавания образов и анализа сцен ==
* Тоже можно почитать Руслануса.
* Контуры, векторизация, инварианты — площадь ограниченная контуром, периметр контура, аффинная длина дуги кривой.
* Короче, ''генерация признаков''.
== Интегральные оценки сигналов. Коэффициент формы сигнала ==
* Фактически идея — величина проекции функции на некоторую другую, то есть скалярное произведение.
* Коэффициент формы — интегральная инвариантная к длительности оценка.<br /><m>K_i = \frac{\int_{0}^{T}x(t)h(t)dt}{\int_{0}^{T}x(t)g(t)dt}</m>
* Можно напридумывать много:
* Степенной: <m>h(t) = (T-t)^i, g(t) = t^i</m>.
* Параболический: <m>h(t)=(2t-T)^{2}, g(t)=4t(T-t)</m>.
* Экспоненциальный: <m>h(t)=e^{-at}, g(t)=e^{-a(T-t)}</m>.
== Интегральное преобразование Фурье. Собственные функции ==
* Можно почитать [[rupedia:Преобразование Фурье]] и ещё лучше — [[wikipedia:Fourier transform]]. <br /> <m>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx</m>
* Собственные функции преобразования Фурье образуют ортонормированную систему функций Эрмита — см. [[wikipedia:Fourier transform#Eigenfunctions]], а собственные значения равны (-i)<sup>n</sup>.
[[Категория:Кандаминимум]]
