0
правок
Изменения
Нет описания правки
По большей части берётся из лекций по МетОптам: {{Скачать|Лекции по методам оптимизации 2003.pdf}}. Другие источники описаны отдельно.
==== Теоремы о достижении нижней грани функции (функционала) на множестве (в ''Е<sup>N</sup>'', в метрических пространствах, в гильбертовых пространствах) ====
Они же Теоремы Вейерштрасса.
* Слабый вариант. Гильбертово пространство, компакт слабый, п/н слабо. Слабые п.т. мин. последовательности в Argmin.
==== Выпуклые множества, выпуклые функции, сильно выпуклые функции, их свойства ====
* '''Опр.''' множество выпуклое; функция выпуклая, строго выпуклая, сильно выпуклая с k > 0.
* '''Т.''' (критерий сильной вып. для диф-мых функций).
==== Критерии оптимальности в гладких выпуклых задачах минимизации ====
* '''Т.''' <m>J(u) \in C^1(U)</m>, U выпукло ⇒ <m>(J'(u_*), u-u_*) >= 0</m> (1), <m>J'(u_* \in int U) = 0</m>. Если (1) и J(u) выпукла — выпукла — значит u argmin (то есть ⇐).
* Ещё там есть пара примеров.
==== Правило множителей Лагранжа ====
* [[rupedia:Метод множителей Лагранжа]] относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0.
* А мы будем минимизировать L(u,λ) = λ<sub>0</sub>J(u) + сумма λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>, λ<sub>i</sub> — — множители Лагранжа.
==== Теорема Куна-Таккера, двойственная задача, ее свойства ====
* '''Т.''' (Куна-Таккера) (обоснование метода Лагранжа) — — всё существует, λ<sub>i</sub> неотрицательно, λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>=0 (усл.доп.нежёсткости). Для достаточности ещё λ<sub>i</sub> ≠ 0.
* '''Опр.''' Двойственная задача: <m>(\psi(\lambda) = inf_{u \in U_0} L(u, \lambda)) \to sup_{\lambda \in \Lambda_0}</m>
* '''Т.''' (свойства дв.задачи). <m>\psi \le \psi^* \le \phi_* = J_* \le \phi(u)</m>. '''=''' только если L имеет седловую точку.
==== Метод проекции градиента (в ''Е<sup>N</sup>'', в гильбертовом пространстве) ====
* Условный минимум — минимум — минимизируем J(u) на множестве U. В лоб — лоб — метод град. спуска проецируем на U = pr<sub>U</sub>(u<sub>k</sub>-a<sub>k</sub>J'(u<sub>k</sub>)).* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le |u_0 — u_0 — u_*|_H q^k(\alpha), q(\alpha) = \sqrt{1-2k\alpha+\alpha² L²}</m>
==== Метод Ньютона ====
* Идея — Идея — градиентный (или скорейший) спуск по квадратичной аппроксимации функции J(u) в окрестности u<sub>k</sub>.
* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le \frac{2k}{L}q^{2^k}(1-q^{2^k})^{-1}</m>
==== Метод покоординатного спуска ====
* Сдвигаемся на a<sub>k</sub> в одну из сторон по одной координате по очереди, пока удаётся. Потом переходим к следующей. Потом дробим a.
* '''Т.''' (обоснование сходимости)
==== Метод штрафных функций ====
* Можно также почитать [[mlwikimachinelearning:Метод штрафных функций]].
* Относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0 либо = 0 начиная с g<sub>m+1</sub>-ой.
* От задачи переходим к последовательности задач <m>J(u)+A_k P(u) \to min</m>. P(u) — — штраф, <m>A_k \to +\inf</m>.
* '''Т.''' (обоснование) индив. штрафы должны давать огран. множество ⇒ всё сходится.
==== Метод барьерных функций ====
* Можно почитать [[mlwikimachinelearning:Метод штрафных функций#Метод барьерных функций]].
* По сути то же, что и метод штрафных функций, только штраф другого вида.
==== Метод динамического программирования ====
* Нет в МетОптах.
* Можно почитать книжку {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}, страницы 461—464.
* Или просто [[rupedia:Динамическое программирование|Википедию]].
* Идея — Идея — поиск пути по минному полю с конца к началу, ибо любой конец оптимальной траектории оптимален (принцип оптимальности Беллмана).
* Вообще-то ещё есть непрерывный аналог, идея та же, реализация на дифф.исчислении и ощутимо мохнатее.
==== Устойчивость задач оптимизации. Метод стабилизации (регуляризация по Тихонову) ====
* '''Опр.''' корректно пост.задача: 1) существует, 2) единственно, 3) из сходимости значений следует сходимость аргументов.
* Суть метода — метода — в отсутствие (3) добавить к J(u) <m>+ \alpha |u|²</m> и минимизировать полученный ''функционал Тихонова''.
* '''Т.''' (обоснование метода).
==== Линейное программирование. Симплекс-метод. Двойственные задачи линейного программирования ====
* '''Опр.''' ЗЛП, каноническая ЗЛП (u ≥ 0), угловая точка, невырожденная угловая точка, невырожденная задача.
* '''Т.''' (критерий угловой точки) (про линейную комбинацию r столбцов матрицы A)
* Симплекс-метод — метод — идея перебора угловых точек в направлении минимизации функции.
== Исследование операций, теория игр ==
# {{Скачать|А.А.Васин, В.В.Морозов - Теория игр и модели математической экономики.djvu}}
# {{Скачать|Васин, Морозов - Дополнительные главы теории операций - Глава 5 - Теория принятия решений.djvu}} (только 5-я глава).
==== Антагонистические игры. Матричные игры, теорема о минимаксе ====
* '''Опр.''' седловая точка F(x, y); антаг. игра <tt><X,Y,F(x,y)></tt>; игра имеет решение; значение игры; матричная игра; нижнее и верхнее значения игры (sup inf и inf sup); максиминная, минимаксная стратегии.
* '''Т.''' (о минимаксе) 1) есть с.т. ⇔ max inf = min sup. 2) с.т. = стратегии максиминная и минимаксная.
==== Выпукло-вогнутые антагонистические игры. Теорема существования седловой точки ====
* '''Опр.''' игра с вогнутой, выпуклой функцией выигрыша.
* '''Т.''' (существование решения) <m>x^0 \in X, \psi^0 = \sum_1^{m+1} q_j^0 I_y_j</m>
==== Бескоалиционные игры ''n'' лиц. Равновесие по Нэшу ====
* '''Опр.''' игра n лиц.
* '''Т.''' (существования равновесия)
==== Принцип гарантированного результата. Минимаксные задачи ====
* Из книжки 2.
* '''Т.''' F1 ≤ F2 ≤ F3 ≤ F4. Противник знает x → не знает → мы знаем y.
==== Многокритериальная оптимизация. Оптимальность по Парето. Лексикографический подход ====
* Из книжки 2.
* Многокритериальная оптимизация — оптимизация — как выбрать стратегию, если критериев качества несколько?
* Опт. по Парето = «не улучшишь хотя бы один критерий».
* Опт. по Слейтеру = «не улучшишь все критерии разом».
* Лексикографический подход — подход — упорядочиваем их по важности и ORDER BY.
==== Кооперативные игры (''с''-ядро, вектор Шепли) ====
* Игроки делят выручку.
* '''Опр.''' коалиции, хар.функция, супераддитивная, игра, игра с постоянной суммой, вектор дележа, эквив. игры (масштаб-сдвиг), 0-1 редуц. форма игры.
* Индивидуальная разумность — разумность — выручку в коалиции не меньше, чем индивидуальная игрока.* Групповая разумность — разумность — выручка любой подкоалиации не меньше, чем её индивидуальная.* '''Ядро''' (c-ядро) — — дележи, удовлетворяющие групповой разумности.* '''Вектор Шепли''' — — состоит из компонент, равных мат.ожиданиям вкладов конкретных игроков.
==== Задача распределения ресурсов (модель Гросса, принцип уравнивания Гермейера) ====
* Из книжки 2.
* Задача 1Задача 1: максимизируем минимум эффекта по всем пунктам.* '''Т.''' (пр. ур. Гермейера) оптимальное решение существует и единственно — единственно — идея: вначале распределяем ресурсы по наиболее слабым пунктам так, чтобы эффекта им досталось поровну.
* Задача 2: максимизируем сумму эффекта по всем пунктам.
* '''Т.''' (критерий Гросса) аналог уравнивания для производных.
==== Иерархические игры ====
* '''Опр.''' иерархической игры (есть обмен информацией о стратегиях).
* Г<sub>1</sub>: x → y(x) — — Y знает стратегию X.
* Г<sub>2</sub>: f(y) → y(f(y)) → x=f(y).
* Г<sub>3</sub>: f<sub>1</sub>(g(x)) → g(x) → x=f(g(x)).
* '''Т.''' (Гермейера). В Г<sub>2</sub> гарантированный результат игрока X = максимум из 1) гарантированного результата X при наилучшем ответе Y на стратегию наказания, применяемую к нему X и 2) лучшего результата X в случае, если он позволит Y получить больше, чем в первом случае.
==== Потоки в сетях (теорема Форда-Фалкерсона, задача и алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе, задача составления расписаний, транспортная задача) ====
* В книжках нет.
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Форда — Фалкерсона]], [[rupedia:Транспортная задача]], [[rupedia:Алгоритм Дейкстры]].
* '''Опр.''' транспортная сеть, поток, сечение графа, величина сечения.
* '''Т.''' (Ф-Ф, очевидная — очевидная — «пропускная способность определяется слабым звеном») максимальный поток между истоком и стоком равен величине минимального сечения.
* Решение транспортной задачи [[rupedia:Транспортная задача#Решение с помощью теории графов|аналогично]] Ф-Ф.
* Поиск кратчайшего пути — пути — динамическое программирование, [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры (жадный)]].
== Оптимальное управление ==
== Дискретная оптимизация ==
== Теория функциональных систем ==
== Комбинаторный анализ и теория графов ==
# {{Скачать|Оре - Теория графов.djvu}}
==== Основные комбинаторные числа ====
Число '''подмножеств''' множества === Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел ===2<sup>|M|</sup>.
[[rupedia:Размещение|Число '''размещений''']] элементов из n по k === Графы и сети(n)<sub>k</sub> (убывающий факториал). Оценки числа графов и сетей различных типов ===
Число '''перестановок''' n элементов = n!. e = <m>lim(1+\frac{1}{n})^n</m> [[rupedia:Сочетание|Число '''сочетаний''']] из n по k, или же биномиальный коэффициент <m>{n \choose k} = C_n^k = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}</m>. Число '''сочетаний с повторениями''' из n по k <m>H_n^k = {n+k-1 \choose k}</m> [[rupedia:Мультиномиальный коэффициент|Число разбиений]] n-элементного множества на множества мощностей <m>n_1, \dots, n_m</m> равняется <m>{n\choose n_1,\ n_2,\ \dots,\ n_m} = \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_m!}</m>. Число разбиений n-элементного множества на k множеств (число Стирлинга) <m>\Phi(n, k) = \frac{1}{k!}\sum_{n_1+\dots+n_k=n, n_i>0} \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}</m> и число всех разбиений (число Белла) <m>\Phi(n) = \sum_{k=0}^{n} \Phi(n, k) = \sum_0^{n-1}{n-1 \choose i}\Phi(i)</m> ==== Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел ==== * '''Т.''' (логарифм факториала) ln n! ~ (n+0.5) ln n* '''Т.''' (формула Стирлинга) n! ~ <m>a\sqrt{n}n^n e^{-n}</m>* '''Т.''' (корень квадратный из пи)* '''Т.''' (число сочетаний)* '''Т.''' (сумма числа сочетаний)* '''Т.''' (числа Белла) ==== Графы и сети. Оценки числа графов и сетей различных типов ==== * '''Опр.''' граф, цикл, петля, связный граф, сеть, степень сети, степенная структура сети* '''Т.''' число графов c h рёбрами без изол.вершин меньше a(bh)<sup>h</sup>, a, b = Const.* '''Т.''' число укладок деревьев с h рёбрами меньше 4<sup>h</sup>.* '''Т.''' (Лупанова) число сетей с заданной степ.структурой ≤ c<sup>h</sup>h<sup>(μ-1)h</sup>, c зависит только от числа полюсов, средней степени и числа наборов. ==== Плоские и планарные графы. Формула Эйлера для плоских графов. Необходимые условия планарности в теореме Понтрягина—Куратовского (без доказательства достаточности) ====
* Можно почитать [[rupedia:Планарный граф]].
* '''Т.''' (П-К) — — это про то, что граф планарен, если не содержит гомеоморфных K<sub>5</sub> и K<sub>3,3</sub> подграфов.
* '''Т.''' (ф-ла Эйлера) ''Вершин − Ребёр + Граней = 2'' у всякого связного плоского графа.
==== Экстремальная теория графов. Теорема Турана ==== * Можно также почитать [[rupedia:Теорема Турана]].* '''Т.''' (Турана) (макс. количество ребёр в графе, не содержащем полного n-вершинного подграфа) ==== Теорема Рамсея ====
== Теория кодирования ==
=== Самокорректирующиеся коды= Алфавитное кодирование. Граница упаковкиКритерии однозначности декодирования. Коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку Неравенство Крафта—Макмиллана ====
* '''Опр.''' кодирование: алфавитное, взаимно однозначное, равномерное, префиксное, постфиксное; неприводимое слово.* '''Т.''' (Маркова) если кодирование неоднозначно, существуют два слова не длиннее целой части 0.5(W+1)(L-r+2), имеющие одинаковый код.* '''Т.''' (Макмиллана) если кодирование однозначно, то <m>\sum{i=== Конечные поля и их основные свойства ===1}{r}\frac{1}{q^{l_i}} \le 1</m>.
=== Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема = Оптимальное кодирование. Построение кодов с минимальной избыточностью ====
* '''Опр.''' цена кода, оптимальный код, код Хаффмана.* '''У.''' если существует оптимальный код, существует оптимальный префиксный код с теми же длинами слов.* Алгоритм построения кода с мин.избыточностью — редукция списка вероятностей.* ''Отсебятина: а ещё есть [[rupedia:Арифметическое кодирование|арифметик]]…'' ==== Самокорректирующиеся коды. Граница упаковки. Коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку ==== * '''Опр.''' самокорректирующиеся коды.* [[rupedia:Код Хемминга]] — исправляющий одну ошибку равномерный код, в котором i-ый контрольный разряд — сумма информационных разрядов с номерами, включающими 1 в i-ой позиции двоичной записи.* '''Т.''' расстояние между любыми двумя кодовыми словами кода Хэмминга ≥ 3.* '''Т.''' расстояние между кодовыми словами кода, исправляющего k ошибок ≥ 2k+1. ==== Конечные поля и их основные свойства ==== * Можно почитать [[rupedia:Кольцо (математика)]], [[rupedia:Конечное поле]].* Поле — коммутативное кольцо с единицей, в котором для всякого ненулевого элемента есть обратный.* Поле Галуа GF(n) — [[rupedia:Конечное поле|конечное поле]].* Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = p<sup>n</sup> элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x<sup>q</sup>-x. ==== Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема ==== * Можно почитать [[rupedia:Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема]], как пример [[rupedia:Циклический код]] (а в CD- ROM’ах используется [[rupedia:Код Рида — Соломона]]).* Коды БЧХ — «обобщение» Хэмминга на случай двух ошибок. Требование решения системы уравнений относительно i и j (позиций ошибок) как раз и приводит к полям…* '''Опр.''' циклический код, порождающий полином, проверочная матрица.* '''Т.''' коды БЧХ — циклические коды, задаваемые порождающим полиномом.* '''Т.''' о границе БЧХ.
== Управляющие системы ==
== Дизъюнктивные нормальные формы ==
== Синтез и сложность управляющих систем ==
== Эквивалентные преобразования управляющих систем ==
== Надежность и контроль функционирования управляющих систем ==
== Математическая экономика ==
Почти вся берётся из лекций [[rupedia:Шананин,_Александр_Алексеевич|Шананина]]: {{Скачать|Шананин А.А. - Лекции по математическим моделям в экономике 1999.pdf}}.
==== Модель межотраслевого баланса В. ВВ. ЛеонтьеваЛеонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц ====
* x-Ax=w, w≥0, x≥0 — 0 — модель Леонтьева.
* '''Опр.''' продуктивная матрица ({{exists}}x: x-Ax>0 или Dx>0), разложимая матрица.
* '''Т.''' (критерии продуктивности) (про любое w и миноры — миноры — условия Хокинса-Саймона)* '''Т.''' (Ф-П — П — про ограничения модулем с.з.) A≥0 ⇒ есть с.з. и с.в.≥0, (pE-A)<sup>-1</sup>>0 ⇔ p > λ(A), Ay ≥ μy ⇔ μ ≤ λ(A), |с.з| ≤ λ(A).
* '''Т.''' (свойства) не меняется от <sup>T</sup>; сохраняет умножение, степень, ≥ для полож.опр.; =0 когда матрица степенью уходит в 0.
* '''T.''' (об уст.матрицах)
==== Динамическая модель В. ВВ. ЛеонтьеваЛеонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Фробениуса — Перрона ====
* '''Опр.''' динам.модель Леонтьева (cx → max, Ax(t+1) ≤ x(t)); магистраль (отклоняется не больше чем на заданный угол).
* '''Т.''' (Моришимы) вектор Ф-П матрицы A — A — магистраль для семейства решений д.м. Л.
==== Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования ====
* Прямая задача — задача — максимизируем прибыль при ограничениях на трудозатраты (не больше).* Обратная задача — задача — минимизируем зарплату при ограничениях на внутренние цены (не меньше).
==== Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона ====
* Типа, сколько надо просить за опцион, чтобы потом было на что реализовать право покупателя.
* Упрощённая модель, есть две цены акции — акции — «верхняя» и «нижняя».
* <m>\sum{2^n+1}{2^{n+1}}p(j)b(j) = \beta(1)b(1) + \gamma(1)s(1)</m>
==== Модель олигополистической конкуренции Курно. Теорема Нэша ====
* '''Опр.''' (бояны) игра N игроков, равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Нэша) (боян) игра с непрерывной вогнутой по каждому x функцией имеет равновесие по Нэшу.
* Модель Курно: чем больше берём, тем меньше платим.<br /><m>u_i(x) = P(\sum_1^n x_j)x_i-c_i(x_i)</m> — — целевая функция (c<sub>i</sub> — — издержки).
* '''Т.''' (существования решения) c(x) и P(x) {{in}} C², издержки возрастают и выпуклы, P(x) неотрицательна и убывает в 0 (есть насыщение) ⇒ {{exists}}! равновесие по Нэшу.
==== Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи дополнительности. Замкнутость отображений спроса и предложения. Теорема Эрроу—Дебре ====
* '''Опр.''' совершенная конкуренция.
* '''Т.''' (Э-Д) (существования конкурентного равновесия с кучей условий)
==== Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла — Никайдо — Гейла — Никайдо — Дебре. Теорема Фань-Цзы ====
* Отсебятина: на неподвижных точках, между прочим, [[rupedia:Алгоритм фрактального сжатия|фрактальное сжатие]] работает. Правда, не на Брауэре, а на Банахе, но это не важно.
* '''Л.''' (Г-Н-Д) замкнутое непустое выпуклое ({{forall}}x f(x) выпукло) м/о из пространства весовых векторов (сумма неотриц. компонент=1) в 2<sup>Rn</sup> и такое, что {{forall}}p, u{{in}}f(p) pu≥0 переводит хотя бы один x хотя бы в один неотрицательный вектор.
==== Оптимальность по Парето конкурентного равновесия (первая теорема теории благосостояния). Теорема Дебре (вторая теорема теории благосостояния). Сравнительная статика в моделях конкурентного равновесия ====
* Можно почитать [[rupedia:Первая теорема благосостояния]], [[rupedia:Вторая теорема благосостояния]].
* '''Т.''' (1-ая) конкурентное равновесие оптимально по Парето.
* '''Т.''' (2-ая) на рынке Парето-оптимальное состояние можно реализовать в качестве равновесия.
* Сравнительная статика: по идее это сравнение «снимков» состояния без прямого учёта фактора времени, но где почитать именно про равновесие — равновесие — неизвестно.
==== Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу ====
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Эрроу]], [[rupedia:Парадокс Кондорсе]].
* Есть избиратели, сортирующие кандидатов. Есть система выборов, строящая заключительный список, отсортированный по «общему убыванию».
* Классная вещь — вещь — Эрроу доказал, что такие выборы чисто математически не могут быть «разумными»!
* Не может быть одновременно: универсальность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив + принцип единогласия.
* Также не может быть: универсальность + полнота + монотонность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив.
==== Индексы неравенства и кривая Лоренца. Теорема мажоризации ====
* Можно почитать стр.11-21 книжки {{Скачать|Маршалл, Олкин - Неравенства: - теория мажоризации и ее приложения.djvu}}.
* По сути: один конечный ряд (y) мажорирует другой (x), если сумма та же, а кривая x лежит ниже y.
* Началось со сравнения Лоренцом распределения богатства — богатства — чем больше концентрация богатства, тем кривее.* И попёрли развивать какую-то левую теорию, мажоризация, слабая мажоризация, мажоризация как частичное упорядочение<font colorspan style="color:#aaaa0a0a0">'', такая мажоризация, сякая мажоризация, групповая мажоризация, любительская мажоризация, извращённая мажоризация''</fontspan>… == Основная литература == # Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высш. школа, 2001.# Кудрявцев В.В, Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.# Мальцев А. И. Алгоритмы и вычислимые функции. М.: Наука, 1986.# Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.# Кибернетический сборник. 1960—1990. Вып. 1—9; вып. 1—28 (новая серия). М.: Мир.# Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. / Под общ. ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974.# Нигматуллин Р. Г. Сложность булевых функций. М.: Наука, 1991.# Проблемы кибернетики. 1959—1984. Вып. 1—41. М.: Наука.# Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. М.: Наука, 1990.# Труды Математического института им. В. А. Стеклова. Т. 51. М.: Изд-во АН СССР, 1958.# Математические вопросы кибернетики. 1988—2001. Вып. 1—10. М.: Наука.# Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1969.# Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.# Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.# Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 2000.# Понтрягин Л. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.# Тихомиров В. М., Фомин С. В., Алексеев В. М. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.# Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2002.# Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1981.# Морозов В. В. Основы теории игр. М.: Изд-во МГУ, 2002.# Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. М.: Наука, 198 .# Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.# Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.# Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.# Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.# Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.# Мельников А. В. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.
== Дополнительная литература Литература ==
[[Категория:УчёбаКандаминимум]]