13 533
правки
Изменения
Новая страница: «== Математическое программирование == По большей части берётся из лекций по МетОптам: {{Ска...»
== Математическое программирование ==
По большей части берётся из лекций по МетОптам: {{Скачать|Лекции по методам оптимизации 2003.pdf}}. Другие источники описаны отдельно.
=== Теоремы о достижении нижней грани функции (функционала) на множестве (в ''Е<sup>N</sup>'', в метрических пространствах, в гильбертовых пространствах) ===
Они же Теоремы Вейерштрасса.
* Полунепрерывная снизу J(u) на компакте в метрическом пространстве достигает своей нижней грани, любая минимальная последовательность сходится к argmin по метрике.
* Слабый вариант. Гильбертово пространство, компакт слабый, п/н слабо. Слабые п.т. мин. последовательности в Argmin.
=== Выпуклые множества, выпуклые функции, сильно выпуклые функции, их свойства ===
* '''Опр.''' множество выпуклое; функция выпуклая, строго выпуклая, сильно выпуклая с k > 0.
* '''Т.''' лок.мин. выпуклой f на выпуклом U = глобальный на U. Argmin выпукло. Argmin={argmin} для строго выпуклой.
* '''Т.''' (сильно вып. Вейерштрасса) J(u) сильно выпукла и п.н. снизу на выпуклом и замкнутом U из Гильбертова H => достигает inf, Argmin={argmin}, <m>\frac{k}{2}|u-u_*|² \le J(u)-J(u_*)</m>.
* '''Т.''' (критерий вып. для диф-мых функций).
* '''Т.''' (критерий сильной вып. для диф-мых функций).
=== Критерии оптимальности в гладких выпуклых задачах минимизации ===
* '''Т.''' <m>J(u) \in C^1(U)</m>, U выпукло ⇒ <m>(J'(u_*), u-u_*) >= 0</m> (1), <m>J'(u_* \in int U) = 0</m>. Если (1) и J(u) выпукла — значит u argmin (то есть ⇐).
* Ещё там есть пара примеров.
=== Правило множителей Лагранжа ===
[[rupedia:Метод множителей Лагранжа]] относится к методам снятия ограничений.
* Задача - J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0.
* А мы будем минимизировать L(u,λ) = λ<sub>0</sub>J(u) + сумма λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>, λ<sub>i</sub> - множители Лагранжа.
=== Теорема Куна-Таккера, двойственная задача, ее свойства ===
* '''Т.''' (Куна-Таккера) (обоснование метода Лагранжа) - всё существует, λ<sub>i</sub> неотрицательно, λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>=0 (усл.доп.нежёсткости). Для достаточности ещё λ<sub>i</sub> ≠ 0.
# Метод проекции градиента (в ''Е<sup>N</sup>'', в гильбертовом пространстве).
# Метод Ньютона.
# Метод покоординатного спуска.
# Метод штрафных функций.
# Метод барьерных функций.
# Метод динамического программирования.
# Устойчивость задач оптимизации. Метод стабилизации (регуляризация по Тихонову).
# Линейное программирование. Симплекс-метод. Двойственные задачи линейного программирования.
== Исследование операций, теория игр ==
# Антагонистические игры. Матричные игры, теорема о минимаксе.
# Выпукло-вогнутые антагонистические игры. Теорема существования седловой точки.
# Бескоалиционные игры ''n'' лиц. Равновесие по Нэшу.
# Принцип гарантированного результата. Минимаксные задачи.
# Многокритериальная оптимизация. Оптимальность по Парето. Лексикографический подход.
# Кооперативные игры (''с''-ядро, вектор Шепли).
# Задача распределения ресурсов (модель Гросса, принцип уравнивания Гермейера).
# Иерархические игры.
# Потоки в сетях (теорема Форда-Фалкерсона, задача и алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе, задача составления расписаний, транспортная задача).
== Оптимальное управление ==
# Постановка задач оптимального управления, их классификация.
# Принцип максимума Понтрягина. Краевая задача принципа максимума.
# Линейная задача быстродействия, ее свойства (существование решения, число переключений).
# Принцип максимума и вариационное исчисление.
# Управляемость и наблюдаемость в линейных системах, их взаимосвязь (взаимодвойственность). Теоремы Калмана, Красовского.
# Метод динамической регуляризации в задаче наблюдения.
# Дифференциальные игры.
== Дискретная оптимизация ==
# Целочисленное линейное программирование (метод Гомори, свойства унимодулярности матрицы ограничений).
# Метод ветвей и границ (на примере задач целочисленного или булева линейного программирования).
# Временная сложность решения задач дискретной оптимизации. Основные классы сложности (''P'', ''NP'', ''NPC'').
# ''NP''-трудные задачи (задача о рюкзаке, задача коммивояжера).
== Теория функциональных систем ==
# Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики ''P''<sub>2</sub>.
# Алгоритм распознавания полноты систем функций ''k''-значной логики ''P<sub>k</sub>''.
# Теорема Слупецкого.
# Особенности ''k''-значных логик.
# Автоматы. Регулярные события и их представление в автоматах.
# Эксперименты с автоматами.
# Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов.
# Вычислимые функции. Эквивалентность класса рекурсивных функций и класса функций, вычислимых на машинах Тьюринга.
# Алгоритмическая неразрешимость проблемы эквивалентности слов в ассоциативных исчислениях.
== Комбинаторный анализ и теория графов ==
# Основные комбинаторные числа.
# Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел.
# Графы и сети. Оценки числа графов и сетей различных типов.
# Плоские и планарные графы. Формула Эйлера для плоских графов. Необходимые условия планарности в теореме Понтрягина—Куратовского (без доказательства достаточности).
# Экстремальная теория графов. Теорема Турана.
# Теорема Рамсея.
== Теория кодирования ==
# Алфавитное кодирование. Критерии однозначности декодирования. Неравенство Крафта—Макмиллана.
# Оптимальное кодирование. Построение кодов с минимальной избыточностью.
# Самокорректирующиеся коды. Граница упаковки. Коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку.
# Конечные поля и их основные свойства.
# Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема.
== Управляющие системы ==
# Понятие управляющей системы. Основные модельные классы управляющих систем: дизъюнктивные нормальные формы, формулы, контактные схемы, схемы из функциональных элементов, автоматы, машины Тьюринга, операторные алгоритмы. Основные проблемы теории управляющих систем.
== Дизъюнктивные нормальные формы ==
# Проблема минимизации булевых функций. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ). Постановка задачи в геометрической форме.
# Локальные алгоритмы построения ДНФ. Построение ДНФ ''∑Т'' (сумма тупиковых) с помощью локального алгоритма.
# Невозможность построения ДНФ ''∑М'' (сумма минимальных) в классе локальных алгоритмов.
== Синтез и сложность управляющих систем ==
# Асимптотически оптимальный метод синтеза схем из функциональных элементов.
# Асимптотически оптимальный метод синтеза контактных схем.
# Инвариантные классы и их свойства.
# Синтез схем для функций из некоторых инвариантных классов.
# Нижние оценки сложности реализации булевых функций параллельно-последовательными контактными схемами.
# Нижние оценки сложности реализации булевых функций формулами в произвольном базисе.
== Эквивалентные преобразования управляющих систем ==
# Эквивалентные преобразования формул двузначной логики ''Р''<sub>2</sub>.
# Эквивалентные преобразования контактных схем.
# Эквивалентные преобразования операторных алгоритмов.
# Пример Линдона.
== Надежность и контроль функционирования управляющих систем ==
# Построение надежных контактных схем из ненадежных контактов.
# Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты.
== Математическая экономика ==
# Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц.
# Динамическая модель В. В. Леонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Перрона.
# Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования.
# Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона.
# Модель олигополистической конкуренции Курно. Теорема Нэша.
# Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи дополнительности. Замкнутость отображений спроса и предложения. Теорема Эрроу—Дебре.
# Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла — Никайдо — Дебре. Теорема Фань-Цзы.
# Оптимальность по Парето конкурентного равновесия (первая теорема теории благосостояния). Теорема Дебре (вторая теорема теории благосостояния). Сравнительная статика в моделях конкурентного равновесия.
# Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу.
# Индексы неравенства и кривая Лоренца. Теорема мажоризации.
== Основная литература ==
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высш. школа, 2001.
# Кудрявцев В.В, Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
# Мальцев А. И. Алгоритмы и вычислимые функции. М.: Наука, 1986.
# Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
# Кибернетический сборник. 1960—1990. Вып. 1—9; вып. 1—28 (новая серия). М.: Мир.
# Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. / Под общ. ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974.
# Нигматуллин Р. Г. Сложность булевых функций. М.: Наука, 1991.
# Проблемы кибернетики. 1959—1984. Вып. 1—41. М.: Наука.
# Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. М.: Наука, 1990.
# Труды Математического института им. В. А. Стеклова. Т. 51. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
# Математические вопросы кибернетики. 1988—2001. Вып. 1—10. М.: Наука.
# Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1969.
# Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.
# Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.
# Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 2000.
# Понтрягин Л. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.
# Тихомиров В. М., Фомин С. В., Алексеев В. М. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
# Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2002.
# Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1981.
# Морозов В. В. Основы теории игр. М.: Изд-во МГУ, 2002.
# Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. М.: Наука, 198 .
# Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
# Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
# Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.
# Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.
# Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.
# Мельников А. В. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.
== Дополнительная литература ==
# МакВильмс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
# Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
# Сэведж Дж. Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.
# Марков А. А. Введение в теорию кодирования. М.: Наука, 1982.
# Орлов В. А. Простое доказательство алгоритмической неразрешимости некоторых задач о полноте автоматных базисов. //Кибернетика. 1973. № 4. С. 109—113.
# Редькин Н. П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
# Соловьев Н. А. Тесты (теория, построение, применения). Новосибирск: Наука, 1978.
# Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1984.
[[Категория:Учёба]]
По большей части берётся из лекций по МетОптам: {{Скачать|Лекции по методам оптимизации 2003.pdf}}. Другие источники описаны отдельно.
=== Теоремы о достижении нижней грани функции (функционала) на множестве (в ''Е<sup>N</sup>'', в метрических пространствах, в гильбертовых пространствах) ===
Они же Теоремы Вейерштрасса.
* Полунепрерывная снизу J(u) на компакте в метрическом пространстве достигает своей нижней грани, любая минимальная последовательность сходится к argmin по метрике.
* Слабый вариант. Гильбертово пространство, компакт слабый, п/н слабо. Слабые п.т. мин. последовательности в Argmin.
=== Выпуклые множества, выпуклые функции, сильно выпуклые функции, их свойства ===
* '''Опр.''' множество выпуклое; функция выпуклая, строго выпуклая, сильно выпуклая с k > 0.
* '''Т.''' лок.мин. выпуклой f на выпуклом U = глобальный на U. Argmin выпукло. Argmin={argmin} для строго выпуклой.
* '''Т.''' (сильно вып. Вейерштрасса) J(u) сильно выпукла и п.н. снизу на выпуклом и замкнутом U из Гильбертова H => достигает inf, Argmin={argmin}, <m>\frac{k}{2}|u-u_*|² \le J(u)-J(u_*)</m>.
* '''Т.''' (критерий вып. для диф-мых функций).
* '''Т.''' (критерий сильной вып. для диф-мых функций).
=== Критерии оптимальности в гладких выпуклых задачах минимизации ===
* '''Т.''' <m>J(u) \in C^1(U)</m>, U выпукло ⇒ <m>(J'(u_*), u-u_*) >= 0</m> (1), <m>J'(u_* \in int U) = 0</m>. Если (1) и J(u) выпукла — значит u argmin (то есть ⇐).
* Ещё там есть пара примеров.
=== Правило множителей Лагранжа ===
[[rupedia:Метод множителей Лагранжа]] относится к методам снятия ограничений.
* Задача - J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0.
* А мы будем минимизировать L(u,λ) = λ<sub>0</sub>J(u) + сумма λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>, λ<sub>i</sub> - множители Лагранжа.
=== Теорема Куна-Таккера, двойственная задача, ее свойства ===
* '''Т.''' (Куна-Таккера) (обоснование метода Лагранжа) - всё существует, λ<sub>i</sub> неотрицательно, λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>=0 (усл.доп.нежёсткости). Для достаточности ещё λ<sub>i</sub> ≠ 0.
# Метод проекции градиента (в ''Е<sup>N</sup>'', в гильбертовом пространстве).
# Метод Ньютона.
# Метод покоординатного спуска.
# Метод штрафных функций.
# Метод барьерных функций.
# Метод динамического программирования.
# Устойчивость задач оптимизации. Метод стабилизации (регуляризация по Тихонову).
# Линейное программирование. Симплекс-метод. Двойственные задачи линейного программирования.
== Исследование операций, теория игр ==
# Антагонистические игры. Матричные игры, теорема о минимаксе.
# Выпукло-вогнутые антагонистические игры. Теорема существования седловой точки.
# Бескоалиционные игры ''n'' лиц. Равновесие по Нэшу.
# Принцип гарантированного результата. Минимаксные задачи.
# Многокритериальная оптимизация. Оптимальность по Парето. Лексикографический подход.
# Кооперативные игры (''с''-ядро, вектор Шепли).
# Задача распределения ресурсов (модель Гросса, принцип уравнивания Гермейера).
# Иерархические игры.
# Потоки в сетях (теорема Форда-Фалкерсона, задача и алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе, задача составления расписаний, транспортная задача).
== Оптимальное управление ==
# Постановка задач оптимального управления, их классификация.
# Принцип максимума Понтрягина. Краевая задача принципа максимума.
# Линейная задача быстродействия, ее свойства (существование решения, число переключений).
# Принцип максимума и вариационное исчисление.
# Управляемость и наблюдаемость в линейных системах, их взаимосвязь (взаимодвойственность). Теоремы Калмана, Красовского.
# Метод динамической регуляризации в задаче наблюдения.
# Дифференциальные игры.
== Дискретная оптимизация ==
# Целочисленное линейное программирование (метод Гомори, свойства унимодулярности матрицы ограничений).
# Метод ветвей и границ (на примере задач целочисленного или булева линейного программирования).
# Временная сложность решения задач дискретной оптимизации. Основные классы сложности (''P'', ''NP'', ''NPC'').
# ''NP''-трудные задачи (задача о рюкзаке, задача коммивояжера).
== Теория функциональных систем ==
# Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики ''P''<sub>2</sub>.
# Алгоритм распознавания полноты систем функций ''k''-значной логики ''P<sub>k</sub>''.
# Теорема Слупецкого.
# Особенности ''k''-значных логик.
# Автоматы. Регулярные события и их представление в автоматах.
# Эксперименты с автоматами.
# Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов.
# Вычислимые функции. Эквивалентность класса рекурсивных функций и класса функций, вычислимых на машинах Тьюринга.
# Алгоритмическая неразрешимость проблемы эквивалентности слов в ассоциативных исчислениях.
== Комбинаторный анализ и теория графов ==
# Основные комбинаторные числа.
# Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел.
# Графы и сети. Оценки числа графов и сетей различных типов.
# Плоские и планарные графы. Формула Эйлера для плоских графов. Необходимые условия планарности в теореме Понтрягина—Куратовского (без доказательства достаточности).
# Экстремальная теория графов. Теорема Турана.
# Теорема Рамсея.
== Теория кодирования ==
# Алфавитное кодирование. Критерии однозначности декодирования. Неравенство Крафта—Макмиллана.
# Оптимальное кодирование. Построение кодов с минимальной избыточностью.
# Самокорректирующиеся коды. Граница упаковки. Коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку.
# Конечные поля и их основные свойства.
# Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема.
== Управляющие системы ==
# Понятие управляющей системы. Основные модельные классы управляющих систем: дизъюнктивные нормальные формы, формулы, контактные схемы, схемы из функциональных элементов, автоматы, машины Тьюринга, операторные алгоритмы. Основные проблемы теории управляющих систем.
== Дизъюнктивные нормальные формы ==
# Проблема минимизации булевых функций. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ). Постановка задачи в геометрической форме.
# Локальные алгоритмы построения ДНФ. Построение ДНФ ''∑Т'' (сумма тупиковых) с помощью локального алгоритма.
# Невозможность построения ДНФ ''∑М'' (сумма минимальных) в классе локальных алгоритмов.
== Синтез и сложность управляющих систем ==
# Асимптотически оптимальный метод синтеза схем из функциональных элементов.
# Асимптотически оптимальный метод синтеза контактных схем.
# Инвариантные классы и их свойства.
# Синтез схем для функций из некоторых инвариантных классов.
# Нижние оценки сложности реализации булевых функций параллельно-последовательными контактными схемами.
# Нижние оценки сложности реализации булевых функций формулами в произвольном базисе.
== Эквивалентные преобразования управляющих систем ==
# Эквивалентные преобразования формул двузначной логики ''Р''<sub>2</sub>.
# Эквивалентные преобразования контактных схем.
# Эквивалентные преобразования операторных алгоритмов.
# Пример Линдона.
== Надежность и контроль функционирования управляющих систем ==
# Построение надежных контактных схем из ненадежных контактов.
# Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты.
== Математическая экономика ==
# Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц.
# Динамическая модель В. В. Леонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Перрона.
# Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования.
# Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона.
# Модель олигополистической конкуренции Курно. Теорема Нэша.
# Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи дополнительности. Замкнутость отображений спроса и предложения. Теорема Эрроу—Дебре.
# Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла — Никайдо — Дебре. Теорема Фань-Цзы.
# Оптимальность по Парето конкурентного равновесия (первая теорема теории благосостояния). Теорема Дебре (вторая теорема теории благосостояния). Сравнительная статика в моделях конкурентного равновесия.
# Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу.
# Индексы неравенства и кривая Лоренца. Теорема мажоризации.
== Основная литература ==
# Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высш. школа, 2001.
# Кудрявцев В.В, Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
# Мальцев А. И. Алгоритмы и вычислимые функции. М.: Наука, 1986.
# Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
# Кибернетический сборник. 1960—1990. Вып. 1—9; вып. 1—28 (новая серия). М.: Мир.
# Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. / Под общ. ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974.
# Нигматуллин Р. Г. Сложность булевых функций. М.: Наука, 1991.
# Проблемы кибернетики. 1959—1984. Вып. 1—41. М.: Наука.
# Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. М.: Наука, 1990.
# Труды Математического института им. В. А. Стеклова. Т. 51. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
# Математические вопросы кибернетики. 1988—2001. Вып. 1—10. М.: Наука.
# Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1969.
# Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.
# Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.
# Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 2000.
# Понтрягин Л. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.
# Тихомиров В. М., Фомин С. В., Алексеев В. М. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
# Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2002.
# Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1981.
# Морозов В. В. Основы теории игр. М.: Изд-во МГУ, 2002.
# Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. М.: Наука, 198 .
# Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
# Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
# Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.
# Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.
# Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.
# Мельников А. В. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.
== Дополнительная литература ==
# МакВильмс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
# Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
# Сэведж Дж. Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.
# Марков А. А. Введение в теорию кодирования. М.: Наука, 1982.
# Орлов В. А. Простое доказательство алгоритмической неразрешимости некоторых задач о полноте автоматных базисов. //Кибернетика. 1973. № 4. С. 109—113.
# Редькин Н. П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
# Соловьев Н. А. Тесты (теория, построение, применения). Новосибирск: Наука, 1978.
# Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1984.
[[Категория:Учёба]]
