0
правок
Изменения
Нет описания правки
==== Критерии оптимальности в гладких выпуклых задачах минимизации ====
* '''Т.''' <m>J(u) \in C^1(U)</m>, U выпукло ⇒ <m>(J'(u_*), u-u_*) >= 0</m> (1), <m>J'(u_* \in int U) = 0</m>. Если (1) и J(u) выпукла — выпукла — значит u argmin (то есть ⇐).
* Ещё там есть пара примеров.
* [[rupedia:Метод множителей Лагранжа]] относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0.
* А мы будем минимизировать L(u,λ) = λ<sub>0</sub>J(u) + сумма λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>, λ<sub>i</sub> — — множители Лагранжа.
==== Теорема Куна-Таккера, двойственная задача, ее свойства ====
* '''Т.''' (Куна-Таккера) (обоснование метода Лагранжа) — — всё существует, λ<sub>i</sub> неотрицательно, λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>=0 (усл.доп.нежёсткости). Для достаточности ещё λ<sub>i</sub> ≠ 0.
* '''Опр.''' Двойственная задача: <m>(\psi(\lambda) = inf_{u \in U_0} L(u, \lambda)) \to sup_{\lambda \in \Lambda_0}</m>
* '''Т.''' (свойства дв.задачи). <m>\psi \le \psi^* \le \phi_* = J_* \le \phi(u)</m>. '''=''' только если L имеет седловую точку.
==== Метод проекции градиента (в ''Е<sup>N</sup>'', в гильбертовом пространстве) ====
* Условный минимум — минимум — минимизируем J(u) на множестве U. В лоб — лоб — метод град. спуска проецируем на U = pr<sub>U</sub>(u<sub>k</sub>-a<sub>k</sub>J'(u<sub>k</sub>)).* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le |u_0 — u_0 — u_*|_H q^k(\alpha), q(\alpha) = \sqrt{1-2k\alpha+\alpha² L²}</m>
==== Метод Ньютона ====
* Идея — Идея — градиентный (или скорейший) спуск по квадратичной аппроксимации функции J(u) в окрестности u<sub>k</sub>.
* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le \frac{2k}{L}q^{2^k}(1-q^{2^k})^{-1}</m>
* Относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0 либо = 0 начиная с g<sub>m+1</sub>-ой.
* От задачи переходим к последовательности задач <m>J(u)+A_k P(u) \to min</m>. P(u) — — штраф, <m>A_k \to +\inf</m>.
* '''Т.''' (обоснование) индив. штрафы должны давать огран. множество ⇒ всё сходится.
* Можно почитать книжку {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}, страницы 461—464.
* Или просто [[rupedia:Динамическое программирование|Википедию]].
* Идея — Идея — поиск пути по минному полю с конца к началу, ибо любой конец оптимальной траектории оптимален (принцип оптимальности Беллмана).
* Вообще-то ещё есть непрерывный аналог, идея та же, реализация на дифф.исчислении и ощутимо мохнатее.
* '''Опр.''' корректно пост.задача: 1) существует, 2) единственно, 3) из сходимости значений следует сходимость аргументов.
* Суть метода — метода — в отсутствие (3) добавить к J(u) <m>+ \alpha |u|²</m> и минимизировать полученный ''функционал Тихонова''.
* '''Т.''' (обоснование метода).
* '''Опр.''' ЗЛП, каноническая ЗЛП (u ≥ 0), угловая точка, невырожденная угловая точка, невырожденная задача.
* '''Т.''' (критерий угловой точки) (про линейную комбинацию r столбцов матрицы A)
* Симплекс-метод — метод — идея перебора угловых точек в направлении минимизации функции.
== Исследование операций, теория игр ==
# {{Скачать|А.А.Васин, В.В.Морозов - Теория игр и модели математической экономики.djvu}}
# {{Скачать|Васин, Морозов - Дополнительные главы теории операций - Глава 5 - Теория принятия решений.djvu}} (только 5-я глава).
* Из книжки 2.
* Многокритериальная оптимизация — оптимизация — как выбрать стратегию, если критериев качества несколько?
* Опт. по Парето = «не улучшишь хотя бы один критерий».
* Опт. по Слейтеру = «не улучшишь все критерии разом».
* Лексикографический подход — подход — упорядочиваем их по важности и ORDER BY.
==== Кооперативные игры (''с''-ядро, вектор Шепли) ====
* Игроки делят выручку.
* '''Опр.''' коалиции, хар.функция, супераддитивная, игра, игра с постоянной суммой, вектор дележа, эквив. игры (масштаб-сдвиг), 0-1 редуц. форма игры.
* Индивидуальная разумность — разумность — выручку в коалиции не меньше, чем индивидуальная игрока.* Групповая разумность — разумность — выручка любой подкоалиации не меньше, чем её индивидуальная.* '''Ядро''' (c-ядро) — — дележи, удовлетворяющие групповой разумности.* '''Вектор Шепли''' — — состоит из компонент, равных мат.ожиданиям вкладов конкретных игроков.
==== Задача распределения ресурсов (модель Гросса, принцип уравнивания Гермейера) ====
* Из книжки 2.
* Задача 1Задача 1: максимизируем минимум эффекта по всем пунктам.* '''Т.''' (пр. ур. Гермейера) оптимальное решение существует и единственно — единственно — идея: вначале распределяем ресурсы по наиболее слабым пунктам так, чтобы эффекта им досталось поровну.
* Задача 2: максимизируем сумму эффекта по всем пунктам.
* '''Т.''' (критерий Гросса) аналог уравнивания для производных.
* '''Опр.''' иерархической игры (есть обмен информацией о стратегиях).
* Г<sub>1</sub>: x → y(x) — — Y знает стратегию X.
* Г<sub>2</sub>: f(y) → y(f(y)) → x=f(y).
* Г<sub>3</sub>: f<sub>1</sub>(g(x)) → g(x) → x=f(g(x)).
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Форда — Фалкерсона]], [[rupedia:Транспортная задача]], [[rupedia:Алгоритм Дейкстры]].
* '''Опр.''' транспортная сеть, поток, сечение графа, величина сечения.
* '''Т.''' (Ф-Ф, очевидная — очевидная — «пропускная способность определяется слабым звеном») максимальный поток между истоком и стоком равен величине минимального сечения.
* Решение транспортной задачи [[rupedia:Транспортная задача#Решение с помощью теории графов|аналогично]] Ф-Ф.
* Поиск кратчайшего пути — пути — динамическое программирование, [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры (жадный)]].
== Оптимальное управление ==
* '''Опр.''' задача ЦЛП (ЛП + x {{in}} Z), унимодулярность матрицы (|det|=1).
* К ней можно многое свести (коммивояжера, расписание, выполнимость КНФ), а вот решать округлением лучше не надо :) также к ней сводятся «нелинейности» — «нелинейности» — барьер, дихотомия, дискретные переменные.
* '''Т.''' A унимод. ⇒ для целых b угловые точки целочисленны.
* Метод отсечений Гомори — Гомори — добавляем ограничения, не отсекающие целочисленных точек — точек — целая часть i-ой строки с = заменённым на ≥.
=== Метод ветвей и границ (на примере задач целочисленного или булева линейного программирования) ===
* Идея — Идея — разбиваем задачу на две взаимодополняющих задачи (либо нецелая x<sub>i</sub> ≤ целой части, либо ≥ целой части + 1).* Вторая идея — идея — при ветвлениях можно не идти во всю глубину, так как меньше чем найденное не-целочисленное решение уже не будет. Если есть другое решение, дающее лучший результат — результат — стоп.* Ещё пример — пример — [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]]. ЦЛП здесь не важно.
=== Временная сложность решения задач дискретной оптимизации. Основные классы сложности (''P'', ''NP'', ''NPC'') ===
== Теория функциональных систем ==
# Алгоритм распознавания полноты систем функций ''k''-значной логики ''P<sub>k</sub>''.
# Теорема Слупецкого.
* Можно почитать [[rupedia:Планарный граф]].
* '''Т.''' (П-К) — — это про то, что граф планарен, если не содержит гомеоморфных K<sub>5</sub> и K<sub>3,3</sub> подграфов.
* '''Т.''' (ф-ла Эйлера) ''Вершин − Ребёр + Граней = 2'' у всякого связного плоского графа.
* '''Т.''' (Рамсея) («полная неупорядоченность невозможна») для любого набора классов сочетаний r элементов в любом достаточно большом множестве всегда найдётся подмножество, все сочетания r элементов которого будут принадлежать одному классу.
* Условно говоря, если на вечеринке 6 человек, то либо какие-то 3 из них все друг с другом знакомы, либо какие-то 3 из них друг с другом незнакомы.
* Правда «достаточно большое множество» — множество» — '''очень большое'''.
== Теория кодирования ==
* '''Опр.''' цена кода, оптимальный код, код Хаффмана.
* '''У.''' если существует оптимальный код, существует оптимальный префиксный код с теми же длинами слов.
* Алгоритм построения кода с мин.избыточностью — избыточностью — редукция списка вероятностей.
* ''Отсебятина: а ещё есть [[rupedia:Арифметическое кодирование|арифметик]]…''
* '''Опр.''' самокорректирующиеся коды.
* [[rupedia:Код Хемминга]] — — исправляющий одну ошибку равномерный код, в котором i-ый контрольный разряд — разряд — сумма информационных разрядов с номерами, включающими 1 в i-ой позиции двоичной записи.
* '''Т.''' расстояние между любыми двумя кодовыми словами кода Хэмминга ≥ 3.
* '''Т.''' расстояние между кодовыми словами кода, исправляющего k ошибок ≥ 2k+1.
* Можно почитать [[rupedia:Кольцо (математика)]], [[rupedia:Конечное поле]].
* Поле — Поле — коммутативное кольцо с единицей, в котором для всякого ненулевого элемента есть обратный.* Поле Галуа GF(n) — — [[rupedia:Конечное поле|конечное поле]].
* Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = p<sup>n</sup> элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x<sup>q</sup>-x.
* Можно почитать [[rupedia:Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема]], [[rupedia:Циклический код]] (а в CD-ROM’ах используется [[rupedia:Код Рида — Соломона]]).
* Коды БЧХ — БЧХ — «обобщение» Хэмминга на случай двух ошибок. Требование решения системы уравнений относительно i и j (позиций ошибок) как раз и приводит к полям…* Коды БЧХ — БЧХ — циклические коды, задаваемые порождающим полиномом.
== Управляющие системы ==
Вопрос тут один, ёмкий, аки нецензурное послание: ''Понятие управляющей системы. Основные модельные классы управляющих систем: дизъюнктивные нормальные формы, формулы, контактные схемы, схемы из функциональных элементов, автоматы, машины Тьюринга, операторные алгоритмы. Основные проблемы теории управляющих систем''. Берётся он из {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}.
* Управляющая система — система — типа задаёт поведение некоторой системы.
* '''Опр.''' элементарные конъюнкции, ДНФ, КНФ; формула; эквивалентные формулы; КС; эквивалентные КС (⇔ эквив. все формулы); СФЭ; [[rupedia:Абстрактный автомат|автомат]]; [[rupedia:Машина Тьюринга|МТ]] (ДМТ, НМТ?).
* Операторные алгоритмы — алгоритмы — последовательность приказов, приказ = операция + два номера других приказа (ветвление определён / не определён), либо «СТОП».
* Основные задачи:
*# Синтез минимальных по сложности систем.
Почти вся берётся из лекций [[rupedia:Шананин,_Александр_Алексеевич|Шананина]]: {{Скачать|Шананин А.А. - Лекции по математическим моделям в экономике 1999.pdf}}.
==== Модель межотраслевого баланса В. ВВ. ЛеонтьеваЛеонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц ====
* x-Ax=w, w≥0, x≥0 — 0 — модель Леонтьева.
* '''Опр.''' продуктивная матрица ({{exists}}x: x-Ax>0 или Dx>0), разложимая матрица.
* '''Т.''' (критерии продуктивности) (про любое w и миноры — миноры — условия Хокинса-Саймона)* '''Т.''' (Ф-П — П — про ограничения модулем с.з.) A≥0 ⇒ есть с.з. и с.в.≥0, (pE-A)<sup>-1</sup>>0 ⇔ p > λ(A), Ay ≥ μy ⇔ μ ≤ λ(A), |с.з| ≤ λ(A).
* '''Т.''' (свойства) не меняется от <sup>T</sup>; сохраняет умножение, степень, ≥ для полож.опр.; =0 когда матрица степенью уходит в 0.
* '''T.''' (об уст.матрицах)
==== Динамическая модель В. ВВ. ЛеонтьеваЛеонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Фробениуса — Перрона ====
* '''Опр.''' динам.модель Леонтьева (cx → max, Ax(t+1) ≤ x(t)); магистраль (отклоняется не больше чем на заданный угол).
* '''Т.''' (Моришимы) вектор Ф-П матрицы A — A — магистраль для семейства решений д.м. Л.
==== Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования ====
* Прямая задача — задача — максимизируем прибыль при ограничениях на трудозатраты (не больше).* Обратная задача — задача — минимизируем зарплату при ограничениях на внутренние цены (не меньше).
==== Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона ====
* Типа, сколько надо просить за опцион, чтобы потом было на что реализовать право покупателя.
* Упрощённая модель, есть две цены акции — акции — «верхняя» и «нижняя».
* <m>\sum{2^n+1}{2^{n+1}}p(j)b(j) = \beta(1)b(1) + \gamma(1)s(1)</m>
* '''Опр.''' (бояны) игра N игроков, равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Нэша) (боян) игра с непрерывной вогнутой по каждому x функцией имеет равновесие по Нэшу.
* Модель Курно: чем больше берём, тем меньше платим.<br /><m>u_i(x) = P(\sum_1^n x_j)x_i-c_i(x_i)</m> — — целевая функция (c<sub>i</sub> — — издержки).
* '''Т.''' (существования решения) c(x) и P(x) {{in}} C², издержки возрастают и выпуклы, P(x) неотрицательна и убывает в 0 (есть насыщение) ⇒ {{exists}}! равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Э-Д) (существования конкурентного равновесия с кучей условий)
==== Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла — Никайдо — Гейла — Никайдо — Дебре. Теорема Фань-Цзы ====
* Отсебятина: на неподвижных точках, между прочим, [[rupedia:Алгоритм фрактального сжатия|фрактальное сжатие]] работает. Правда, не на Брауэре, а на Банахе, но это не важно.
* '''Т.''' (1-ая) конкурентное равновесие оптимально по Парето.
* '''Т.''' (2-ая) на рынке Парето-оптимальное состояние можно реализовать в качестве равновесия.
* Сравнительная статика: по идее это сравнение «снимков» состояния без прямого учёта фактора времени, но где почитать именно про равновесие — равновесие — неизвестно.
==== Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу ====
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Эрроу]], [[rupedia:Парадокс Кондорсе]].
* Есть избиратели, сортирующие кандидатов. Есть система выборов, строящая заключительный список, отсортированный по «общему убыванию».
* Классная вещь — вещь — Эрроу доказал, что такие выборы чисто математически не могут быть «разумными»!
* Не может быть одновременно: универсальность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив + принцип единогласия.
* Также не может быть: универсальность + полнота + монотонность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив.
* Можно почитать стр.11-21 книжки {{Скачать|Маршалл, Олкин - Неравенства - теория мажоризации и ее приложения.djvu}}.
* По сути: один конечный ряд (y) мажорирует другой (x), если сумма та же, а кривая x лежит ниже y.
* Началось со сравнения Лоренцом распределения богатства — богатства — чем больше концентрация богатства, тем кривее.
* И попёрли развивать какую-то левую теорию, мажоризация, слабая мажоризация, мажоризация как частичное упорядочение<span style="color:#a0a0a0">'', такая мажоризация, сякая мажоризация, групповая мажоризация, любительская мажоризация, извращённая мажоризация''</span>…
== Основная литература ==
# Яблонский С. ВВ. Введение Введение в дискретную математику. М.: Высш. школа, 2001.# Кудрявцев В.В, Алешин С. В., Подколзин А. СС. Введение Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.# Мальцев А. ИИ. Алгоритмы Алгоритмы и вычислимые функции. М.: Наука, 1986.
# Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
# Кибернетический сборник. 1960—1990. Вып. 1—9; вып. 1—28 (новая серия). М.: Мир.
# Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. / Под общ. ред. С. ВВ. Яблонского Яблонского и О. ББ. ЛупановаЛупанова. М.: Наука, 1974.# Нигматуллин Р. ГГ. Сложность Сложность булевых функций. М.: Наука, 1991.
# Проблемы кибернетики. 1959—1984. Вып. 1—41. М.: Наука.
# Лекции по теории графов / В. АА. ЕмеличевЕмеличев, О. ИИ. МельниковМельников, В. ИИ. СарвановСарванов, Р. ИИ. ТышкевичТышкевич. М.: Наука, 1990.# Труды Математического института им. В. АА. СтекловаСтеклова. Т. 51. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
# Математические вопросы кибернетики. 1988—2001. Вып. 1—10. М.: Наука.
# Гермейер Ю. ББ. Введение Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1969.# Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. ВВ. Курс Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.# Васильев Ф. ПП. Методы Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.# Карманов В. ГГ. Математическое Математическое программирование. М.: Наука, 2000.
# Понтрягин Л. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.
# Тихомиров В. М., Фомин С. В., Алексеев В. ММ. Оптимальное Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.# Краснощеков П. С., Петров А. АА. Принципы Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2002.# Подиновский В. В., Ногин В. ДД. ПаретоПарето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1981.# Морозов В. ВВ. Основы Основы теории игр. М.: Изд-во МГУ, 2002.
# Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. М.: Наука, 198 .
# Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
# Ашманов С. АА. Введение Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
# Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.
# Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.
# Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.
# Мельников А. ВВ. Стохастический Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.
== Дополнительная литература ==
# МакВильмс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
# Лупанов О. ББ. Асимптотические Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
# Сэведж Дж. Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.
# Марков А. АА. Введение Введение в теорию кодирования. М.: Наука, 1982.# Орлов В. АА. Простое Простое доказательство алгоритмической неразрешимости некоторых задач о полноте автоматных базисов. //Кибернетика. 1973. № 4№ 4. С. 109—113.# Редькин Н. ПП. Надежность Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.# Соловьев Н. АА. Тесты Тесты (теория, построение, применения). Новосибирск: Наука, 1978.# Поляк Б. ТТ. Введение Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1984.
[[Категория:Кандаминимум]]
