13 514
правок
Изменения
→Теория функциональных систем
==== Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики ''P''<sub>2</sub> ====
* Формула над системой {''f<sub>k</sub>''}: 1) ''f<sub>i</sub>''- формула 2) ''f<sub>i</sub>''(''A<sub>1</sub>'',…,''A<sub>n</sub>'') — — формула, где A — A — переменная либо формула.
* Полнота системы {''f<sub>k</sub>''}: все функции из ''P''<sub>2</sub> можно выразить формулами над {''f<sub>k</sub>''}.
* Замкнутый класс — класс — все формулы над функциями из класса принадлежат тому же классу.
* Замкнутые классы: ''T<sub>0</sub>'' (f(0,0…0)=0), ''T<sub>1</sub>'' (f(1,1…1)=1), ''S'' (f(!x<sub>1</sub>,!x<sub>2</sub>,…!x<sub>n</sub>) = !f(!x<sub>1</sub>,!x<sub>2</sub>,…!x<sub>n</sub>)), ''M'' (1й набор по всем переменным ≥ 2го, тогда f(1го)≥f(2го)), ''L'' (формула над +, &, 1, 0, оно же полином Жегалкина)
* Теорема о полноте: если система не входит полностью ни в одно из ''T<sub>0</sub>'', ''T<sub>1</sub>'', ''S'', ''M'', ''L'' — — то она полна. Доказывается через получение констант 0 и 1 из не входящих в ''T<sub>0</sub>'', ''T<sub>1</sub>'' и ''S'', из них и функции, не принадлежащей ''L''- отрицания, и из них, отрицания и функции, не принадлежащей ''M'' — — дизъюнкции.* Подробнее — Подробнее — в Яблонском, там много лемм.
==== Алгоритм распознавания полноты систем функций ''k''-значной логики ''P<sub>k</sub>'' ====
* Предыдущий результат с практической т.з. бесполезен, ибо задолбаешься так проверять=) Поэтому мы сначала введем понятие функции, сохраняющей множество (см. опять же предыдущий вопрос, только тут не 0 и 1, а произвольные множества- причем замкнутость класса, сохраняющего множество, есть всегда, независимо от того, какое это множество), а потом! мы докажем теорему (о функциональной полноте) Кузнецова! про то, что и в k-значной логике можно построить аналоги 5 классов из бинарной(см. теорему о полноте на 1 вопрос выше), то есть если система полностью не вложена ни в 1 из них- то она полна.
* И все равно нам это не поможет, потому что такие классы задолбаешься строить(вроде бы для 3 и 4-значной логики сделали, для остальных- нишмагли, но тут не уверен). Поэтому придумали теорему Слупецкого...Слупецкого…
==== Теорема Слупецкого ====
* ...которая …которая в обобщенном виде гласит, что если система содержит все функции 1й переменной, принимающие не более k-1 значений(в необобщенном виде- просто все функции 1й переменной), то для полноты н. и д., чтобы она содержала еще существенную(т.е. то есть зависящую от 2+ переменных) функцию, принимающую k значений. Подробнее про док-во- в Яблонском, там несколько длинных(по доказательству) лемм.
* Это уже хорошо, но всех функций 1й переменной, принимающих не более k-1 значений, все равно очень много. Поэтому проще искать "базисы" «базисы» для таких функций, примеры см. в Яблонском, с.64-65.
==== Особенности ''k''-значных логик ====
