==== Критерии оптимальности в гладких выпуклых задачах минимизации ====
* '''Т.''' <m>J(u) \in C^1(U)</m>, U выпукло ⇒ <m>(J'(u_*), u-u_*) >= 0</m> (1), <m>J'(u_* \in int U) = 0</m>. Если (1) и J(u) выпукла — выпукла — значит u argmin (то есть ⇐).
* Ещё там есть пара примеров.
* [[rupedia:Метод множителей Лагранжа]] относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0.
* А мы будем минимизировать L(u,λ) = λ<sub>0</sub>J(u) + сумма λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>, λ<sub>i</sub> — — множители Лагранжа.
==== Теорема Куна-Таккера, двойственная задача, ее свойства ====
* '''Т.''' (Куна-Таккера) (обоснование метода Лагранжа) — — всё существует, λ<sub>i</sub> неотрицательно, λ<sub>i</sub>g<sub>i</sub>=0 (усл.доп.нежёсткости). Для достаточности ещё λ<sub>i</sub> ≠ 0.
* '''Опр.''' Двойственная задача: <m>(\psi(\lambda) = inf_{u \in U_0} L(u, \lambda)) \to sup_{\lambda \in \Lambda_0}</m>
* '''Т.''' (свойства дв.задачи). <m>\psi \le \psi^* \le \phi_* = J_* \le \phi(u)</m>. '''=''' только если L имеет седловую точку.
==== Метод проекции градиента (в ''Е<sup>N</sup>'', в гильбертовом пространстве) ====
* Условный минимум — минимум — минимизируем J(u) на множестве U. В лоб — лоб — метод град. спуска проецируем на U = pr<sub>U</sub>(u<sub>k</sub>-a<sub>k</sub>J'(u<sub>k</sub>)).* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le |u_0 — u_0 — u_*|_H q^k(\alpha), q(\alpha) = \sqrt{1-2k\alpha+\alpha² L²}</m>
==== Метод Ньютона ====
* Идея — Идея — градиентный (или скорейший) спуск по квадратичной аппроксимации функции J(u) в окрестности u<sub>k</sub>.
* '''Т.''' (скорость сходимости) <m>\le \frac{2k}{L}q^{2^k}(1-q^{2^k})^{-1}</m>
==== Метод штрафных функций ====
* Можно также почитать [[mlwikimachinelearning:Метод штрафных функций]].
* Относится к методам снятия ограничений.
* '''Задача.''' J(u) → min при огр. g<sub>i</sub> ≤ 0 либо = 0 начиная с g<sub>m+1</sub>-ой.
* От задачи переходим к последовательности задач <m>J(u)+A_k P(u) \to min</m>. P(u) — — штраф, <m>A_k \to +\inf</m>.
* '''Т.''' (обоснование) индив. штрафы должны давать огран. множество ⇒ всё сходится.
==== Метод барьерных функций ====
* Можно почитать [[mlwikimachinelearning:Метод штрафных функций#Метод барьерных функций]].
* По сути то же, что и метод штрафных функций, только штраф другого вида.
* Можно почитать книжку {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}, страницы 461—464.
* Или просто [[rupedia:Динамическое программирование|Википедию]].
* Идея — Идея — поиск пути по минному полю с конца к началу, ибо любой конец оптимальной траектории оптимален (принцип оптимальности Беллмана).
* Вообще-то ещё есть непрерывный аналог, идея та же, реализация на дифф.исчислении и ощутимо мохнатее.
* '''Опр.''' корректно пост.задача: 1) существует, 2) единственно, 3) из сходимости значений следует сходимость аргументов.
* Суть метода — метода — в отсутствие (3) добавить к J(u) <m>+ \alpha |u|²</m> и минимизировать полученный ''функционал Тихонова''.
* '''Т.''' (обоснование метода).
* '''Опр.''' ЗЛП, каноническая ЗЛП (u ≥ 0), угловая точка, невырожденная угловая точка, невырожденная задача.
* '''Т.''' (критерий угловой точки) (про линейную комбинацию r столбцов матрицы A)
* Симплекс-метод — метод — идея перебора угловых точек в направлении минимизации функции.
== Исследование операций, теория игр ==
Источники — Источники — две книжки по тиграм ('''т'''еории '''игр''') Васина и Морозова:
# {{Скачать|А.А.Васин, В.В.Морозов - Теория игр и модели математической экономики.djvu}}
# {{Скачать|Васин, Морозов - Дополнительные главы теории операций - Глава 5 - Теория принятия решений.djvu}} (только 5-я глава).
* Из книжки 2.
* Многокритериальная оптимизация — оптимизация — как выбрать стратегию, если критериев качества несколько?
* Опт. по Парето = «не улучшишь хотя бы один критерий».
* Опт. по Слейтеру = «не улучшишь все критерии разом».
* Лексикографический подход — подход — упорядочиваем их по важности и ORDER BY.
==== Кооперативные игры (''с''-ядро, вектор Шепли) ====
* Игроки делят выручку.
* '''Опр.''' коалиции, хар.функция, супераддитивная, игра, игра с постоянной суммой, вектор дележа, эквив. игры (масштаб-сдвиг), 0-1 редуц. форма игры.
* Индивидуальная разумность — разумность — выручку в коалиции не меньше, чем индивидуальная игрока.* Групповая разумность — разумность — выручка любой подкоалиации не меньше, чем её индивидуальная.* '''Ядро''' (c-ядро) — — дележи, удовлетворяющие групповой разумности.* '''Вектор Шепли''' — — состоит из компонент, равных мат.ожиданиям вкладов конкретных игроков.
==== Задача распределения ресурсов (модель Гросса, принцип уравнивания Гермейера) ====
* Из книжки 2.
* Задача 1Задача 1: максимизируем минимум эффекта по всем пунктам.* '''Т.''' (пр. ур. Гермейера) оптимальное решение существует и единственно — единственно — идея: вначале распределяем ресурсы по наиболее слабым пунктам так, чтобы эффекта им досталось поровну.
* Задача 2: максимизируем сумму эффекта по всем пунктам.
* '''Т.''' (критерий Гросса) аналог уравнивания для производных.
* '''Опр.''' иерархической игры (есть обмен информацией о стратегиях).
* Г<sub>1</sub>: x → y(x) — — Y знает стратегию X.
* Г<sub>2</sub>: f(y) → y(f(y)) → x=f(y).
* Г<sub>3</sub>: f<sub>1</sub>(g(x)) → g(x) → x=f(g(x)).
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Форда — Фалкерсона]], [[rupedia:Транспортная задача]], [[rupedia:Алгоритм Дейкстры]].
* '''Опр.''' транспортная сеть, поток, сечение графа, величина сечения.
* '''Т.''' (Ф-Ф, очевидная — очевидная — «пропускная способность определяется слабым звеном») максимальный поток между истоком и стоком равен величине минимального сечения.
* Решение транспортной задачи [[rupedia:Транспортная задача#Решение с помощью теории графов|аналогично]] Ф-Ф.
* Поиск кратчайшего пути — пути — динамическое программирование, [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры (жадный)]].
== Оптимальное управление ==
# Частично берётся из лекций {{Скачать|Орлов - лекции по оптимальному управлению 2005.pdf}}. Но содержит несколько мистические вопросы — например, 3 последних, для которых связных материалов найти не удалось вообще. Дифференциальные игры можно, конечно, почитать по книге Айзекса 1967-го года, но там про это вся книга (480 страниц), но нам-то кратко надо. ''Специалисты по оптимальному управлению — welcome! Дополните секцию! (и уберите пометки (404) = (не найдено) из заголовков)'' ==== Постановка задач оптимального управления, их классификация==== * '''Опр.''' задача ОУ (дифур, доп.множества, нач.усл., функционал), множество достижимости.# * Задачи: быстродействия, с фикс. временем, с закреплёнными концами, с подвижными концами, с неавтономной системой. ==== Принцип максимума Понтрягина. Краевая задача принципа максимума==== * '''Опр.''' сопряжённая система, гамильтониан.# * '''Л.''' скалярное произведение решений прямой и сопряжённой систем константно.* '''Т.''' (ПМП) <m>\forall (u(t), x(t)) \exists \psi(t): \psi' = H_x'</m>, H(x, u,ψ) достигает максимума, а максимум постоянен на всём отрезке времени.* '''Т.''' (тоже ПМП, в другом виде) для оптимальной пары, если начальное и конечное множества выпуклы, существует ψ такое, что верно условие максимума: (u(t),ψ(t))=c(U,ψ(t)) и 2 трансверсальности: (x(t<sub>0</sub>),ψ(t<sub>0</sub>))=c(M<sub>0</sub>,ψ(t<sub>0</sub>)) и (x(t<sub>1</sub>),-ψ(t<sub>1</sub>))=c(M<sub>1</sub>,-ψ(t<sub>1</sub>)). ==== (404) Линейная задача быстродействия, ее свойства (существование решения, число переключений).====# ==== (404) Принцип максимума и вариационное исчисление.====# * Видимо, про те самые вариации Макшейна? ==== (404) Управляемость и наблюдаемость в линейных системах, их взаимосвязь (взаимодвойственность). Теоремы Калмана, Красовского==== * '''Опр.''' Система полностью управляема, если она может быть переведена из любого начального состояния в начало координат под действием управления u(t) за конечное время.# * '''Т.''' (Калмана) Состояние непрерывной системы (x' = Ax + bu) управляемо, если и только если<br />rang N<sub>y</sub>=[b | Ab | A²b | … | A<sup>n-1</sup>b] = n. ==== (404) Метод динамической регуляризации в задаче наблюдения.====# ==== (404) Дифференциальные игры.====
== Дискретная оптимизация ==
# Берётся из {{Скачать|Пападимитриу, Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}, а также из {{Скачать|Алексеев - лекции по сложности комбинаторных алгоритмов.pdf}}. === Целочисленное линейное программирование (метод Гомори, свойства унимодулярности матрицы ограничений)=== * '''Опр.''' задача ЦЛП (ЛП + x {{in}} Z), унимодулярность матрицы (|det|=1).* К ней можно многое свести (коммивояжера, расписание, выполнимость КНФ), а вот решать округлением лучше не надо :) также к ней сводятся «нелинейности» — барьер, дихотомия, дискретные переменные.* '''Т.''' A унимод. ⇒ для целых b угловые точки целочисленны.* Метод отсечений Гомори — добавляем ограничения, не отсекающие целочисленных точек — целая часть i-ой строки с = заменённым на ≥. # === Метод ветвей и границ (на примере задач целочисленного или булева линейного программирования) === * Идея — разбиваем задачу на две взаимодополняющих задачи (либо нецелая x<sub>i</sub> ≤ целой части, либо ≥ целой части + 1).# * Вторая идея — при ветвлениях можно не идти во всю глубину, так как меньше чем найденное не-целочисленное решение уже не будет. Если есть другое решение, дающее лучший результат — стоп.* Ещё пример — [[rupedia:Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]]. ЦЛП здесь не важно. === Временная сложность решения задач дискретной оптимизации. Основные классы сложности (''P'', ''NP'', ''NPC'')=== * '''Опр.''' f полиномиально сводится к g, P, NP, NP-полные (NPC). # === ''NP''-трудные задачи (задача о рюкзаке, задача коммивояжера)=== * Можно также почитать [[rupedia:Задача о ранце]], [[rupedia:Задача коммивояжёра]].* ЗР: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.* ЗК: отыскание самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город.
== Теория функциональных систем ==
# Берётся снова из {{Скачать|Яблонский - Введение в дискретную математику.djvu}}. ==== Проблема полноты. Теорема о полноте систем функций двузначной логики ''P''<sub>2</sub>==== * Формула над системой {''f<sub>k</sub>''}: 1) ''f<sub>i</sub>''- формула 2) ''f<sub>i</sub>''(''A<sub>1</sub>'',…,''A<sub>n</sub>'') — формула, где A — переменная либо формула.# * Полнота системы {''f<sub>k</sub>''}: все функции из ''P''<sub>2</sub> можно выразить формулами над {''f<sub>k</sub>''}.* Замкнутый класс — все формулы над функциями из класса принадлежат тому же классу.* Замкнутые классы: ''T<sub>0</sub>'' (f(0,0…0)=0), ''T<sub>1</sub>'' (f(1,1…1)=1), ''S'' (f(!x<sub>1</sub>,!x<sub>2</sub>,…!x<sub>n</sub>) = !f(!x<sub>1</sub>,!x<sub>2</sub>,…!x<sub>n</sub>)), ''M'' (1й набор по всем переменным ≥ 2го, тогда f(1го)≥f(2го)), ''L'' (формула над +, &, 1, 0, оно же полином Жегалкина)* Теорема о полноте: если система не входит полностью ни в одно из ''T<sub>0</sub>'', ''T<sub>1</sub>'', ''S'', ''M'', ''L'' — то она полна. Доказывается через получение констант 0 и 1 из не входящих в ''T<sub>0</sub>'', ''T<sub>1</sub>'' и ''S'', из них и функции, не принадлежащей ''L''- отрицания, и из них, отрицания и функции, не принадлежащей ''M'' — дизъюнкции. ==== Алгоритм распознавания полноты систем функций ''k''-значной логики ''P<sub>k</sub>''==== * '''Т.''' существует алгоритм анализа системы на полноту. («в лоб»)<br /> '''Док-во:''' строим мн-ва функций от 2х переменных, подставляя в функции из нашей системы либо функции от 2х переменных с предыдущего шага, либо просто переменную x<sub>1</sub> или x<sub>2</sub>. Так как функций k-значной логики у нас конечное количество, то рано или поздно множество окажется замкнутым. Если оно совпадает со всеми функциями 2х переменных — то система полна, иначе нет.# * Предыдущий результат с практической т.з. бесполезен, ибо задолбаешься так проверять =) Поэтому мы сначала введем понятие функции, сохраняющей множество (см. опять же предыдущий вопрос, только тут не 0 и 1, а произвольные множества — причем замкнутость класса, сохраняющего множество, есть всегда, независимо от того, какое это множество), а потом! Мы докажем…* '''Т.''' (о функциональной полноте, Кузнецова) про то, что и в k-значной логике можно построить аналоги 5 классов из бинарной (см. теорему о полноте на 1 вопрос выше), то есть если система полностью не вложена ни в 1 из них- то она полна.* И все равно нам это не поможет, потому что такие классы задолбаешься строить (вроде бы для 3 и 4-значной логики сделали, для остальных — нишмагли). Поэтому придумали теорему Слупецкого… ==== Теорема Слупецкого==== * …которая в обобщенном виде гласит, что если система содержит все функции 1й переменной, принимающие не более k-1 значений (в необобщенном виде — просто все функции 1й переменной), то для полноты н.и д., чтобы она содержала еще существенную (то есть зависящую от 2+ переменных) функцию, принимающую k значений. Подробнее про док-во — в Яблонском, там несколько длинных (по доказательству) лемм.* Это уже хорошо, но всех функций 1й переменной, принимающих не более k-1 значений, все равно очень много. Поэтому проще искать «базисы» для таких функций, примеры см. в Яблонском, с.64-65. # ==== Особенности ''k''-значных логик==== * В бинарной логике каждый замкнутый класс имеет конечный базис; всего их счётное число; всякую функцию можно записать полиномом.# * А в k-значной — нифига.* '''Т.''' (Янова) для всякого k≥3 в P<sub>k</sub> {{exists}} замкнутый класс, не имеющий базиса.* '''Т.''' (Мучника) для всякого k≥3 в P<sub>k</sub> {{exists}} замкнутый класс, имеющий счётный базис.* '''Т.''' для всякого k≥3 в P<sub>k</sub> {{exists}} континуум различных замкнутых классов.* '''Т.''' система полиномов в P<sub>k</sub> полна ⇔ k — простое число. ==== Автоматы. Регулярные события и их представление в автоматах.====# ==== Эксперименты с автоматами==== * Берётся из {{Скачать|Алексеев - лекции по дискретной математике 2002.pdf}}.* '''Опр.''' автомат с выходом, отличимые состояния, эксперимент.* '''Л.''' (о существовании отличимых экспериментом данной длины состояний)* '''Т.''' (Мура) (о максимальной длине эксперимента, +пример)* '''Т.''' (про отличимые состояния разных автоматов)* '''Т.''' (о макс. длине эксп. отличающего состояния двух автоматов, +пример) # ==== Алгоритмическая неразрешимость проблемы полноты для автоматов.==== # ==== Вычислимые функции. Эквивалентность класса рекурсивных функций и класса функций, вычислимых на машинах Тьюринга.====# ==== Алгоритмическая неразрешимость проблемы эквивалентности слов в ассоциативных исчислениях==== * Берётся из {{Скачать|Мальцев - Алгоритмы и рекурсивные функции.djvu}}, стр. 254.* '''Опр.''' полугруппа, система порождающих, определяющие соотношения, умножение классов.* '''Опр.''' ассоциативного исчисления (набор замен); эквивалентные слова.* '''Т.''' (Пост, Марков) {{exists}} ассоциативное исчисление с алгоритмически неразрешимой проблемой эквивалентности слов.
== Комбинаторный анализ и теория графов ==
==== Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел ====
* '''Т.''' (логарифм факториала) <m>ln n! ~ (n+0.5)ln n</m>* '''Т.''' (формула Стирлинга) n! ~ <m>n! ~ a\sqrt{n}n^n e^{-n}</m>
* '''Т.''' (корень квадратный из пи)
* '''Т.''' (число сочетаний)
* Можно почитать [[rupedia:Планарный граф]].
* '''Т.''' (П-К) — — это про то, что граф планарен, если не содержит гомеоморфных K<sub>5</sub> и K<sub>3,3</sub> подграфов.
* '''Т.''' (ф-ла Эйлера) ''Вершин − Ребёр + Граней = 2'' у всякого связного плоского графа.
* '''Т.''' (Рамсея) («полная неупорядоченность невозможна») для любого набора классов сочетаний r элементов в любом достаточно большом множестве всегда найдётся подмножество, все сочетания r элементов которого будут принадлежать одному классу.
* Условно говоря, если на вечеринке 6 человек, то либо какие-то 3 из них все друг с другом знакомы, либо какие-то 3 из них друг с другом незнакомы.
* Правда «достаточно большое множество» — множество» — '''очень большое'''.
== Теория кодирования ==
Первые 3 вопроса берутся из {{Скачать|Яблонский - Введение в дискретную математику.djvu}}, можно также (но хуже) из лекций Алексеева: {{Скачать|Алексеев - лекции по дискретной математике 2002.pdf}}.
Другие 2 можно прочитать в {{Скачать|Макмиллан, Слоэн - Теория кодов, исправляющих ошибки.djvu}}.
==== Алфавитное кодирование. Критерии однозначности декодирования. Неравенство Крафта—Макмиллана ====
* '''Опр.''' кодирование: алфавитное, взаимно однозначное, равномерное, префиксное, постфиксное; неприводимое слово.
* '''Т.''' (Маркова) если кодирование неоднозначно, существуют два слова не длиннее целой части 0.5(W+1)(L-r+2), имеющие одинаковый код.
* '''Т.''' (Макмиллана) если кодирование однозначно, то <m>\sum{i=1}{r}\frac{1}{q^{l_i}} \le 1</m>.
==== Оптимальное кодирование. Построение кодов с минимальной избыточностью ====
* '''Опр.''' цена кода, оптимальный код, код Хаффмана.
* '''У.''' если существует оптимальный код, существует оптимальный префиксный код с теми же длинами слов.
* Алгоритм построения кода с мин.избыточностью — редукция списка вероятностей.
* ''Отсебятина: а ещё есть [[rupedia:Арифметическое кодирование|арифметик]]…''
==== Самокорректирующиеся коды. Граница упаковки. Коды Хемминга, исправляющие единичную ошибку ====
* '''Опр.''' самокорректирующиеся коды.
* [[rupedia:Код Хемминга]] — исправляющий одну ошибку равномерный код, в котором i-ый контрольный разряд — сумма информационных разрядов с номерами, включающими 1 в i-ой позиции двоичной записи.
* '''Т.''' расстояние между любыми двумя кодовыми словами кода Хэмминга ≥ 3.
* '''Т.''' расстояние между кодовыми словами кода, исправляющего k ошибок ≥ 2k+1.
==== Конечные поля и их основные свойства ====
* Можно почитать [[rupedia:Кольцо (математика)]], [[rupedia:Конечное поле]].
* Поле — коммутативное кольцо с единицей, в котором для всякого ненулевого элемента есть обратный.
* Поле Галуа GF(n) — [[rupedia:Конечное поле|конечное поле]].
* Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = p<sup>n</sup> элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x<sup>q</sup>-x.
==== Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема ====
* Можно почитать [[rupedia:Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема]], как пример [[rupedia:Циклический код]] (а в CD- ROM’ах используется [[rupedia:Код Рида — Соломона]]).* Коды БЧХ — «обобщение» Хэмминга на случай двух ошибок. Требование решения системы уравнений относительно i и j (позиций ошибок) как раз и приводит к полям…* '''Опр.''' циклический код, порождающий полином, проверочная матрица.* '''Т.''' коды БЧХ — циклические коды, задаваемые порождающим полиномом.* '''Т.''' о границе БЧХ.
== Управляющие системы ==
# Вопрос тут один, ёмкий, аки нецензурное послание. ==== Понятие управляющей системы. Основные модельные классы управляющих систем: дизъюнктивные нормальные формы, формулы, контактные схемы, схемы из функциональных элементов, автоматы, машины Тьюринга, операторные алгоритмы. Основные проблемы теории управляющих систем==== Берётся он из {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}. * Управляющая система — типа задаёт поведение некоторой системы.* '''Опр.''' элементарные конъюнкции, ДНФ, КНФ; формула; эквивалентные формулы; КС; эквивалентные КС (⇔ эквив. все формулы); СФЭ; [[rupedia:Абстрактный автомат|автомат]]; [[rupedia:Машина Тьюринга|МТ]] (ДМТ, НМТ?).* Операторные алгоритмы — последовательность приказов, приказ = операция + два номера других приказа (ветвление определён / не определён), либо «СТОП».* Основные задачи:*# Синтез минимальных по сложности систем.*# Эквивалентные преобразования.*# Контроль и надёжность.
== Дизъюнктивные нормальные формы ==
# Берётся из лекций Ложкина по ОК: {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}. ==== Проблема минимизации булевых функций. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ). Постановка задачи в геометрической форме.==== # ==== Локальные алгоритмы построения ДНФ. Построение ДНФ ''∑Т'' (сумма тупиковых) с помощью локального алгоритма==== * '''Опр.''' тупиковая ДНФ, ДНФ ΣT и {{cap}}T, ядровая точка, ядровая грань, ядро; пучок, регулярные и нерегулярные точки, регулярные грани; окрестность порядка r, ДНФ Квайна; локальный алгоритм.* '''Л.''' (о составе ДНФ {{cap}}T)* '''Т.''' (Журавлева) (о составе ДНФ ΣT), идея о покрытии регулярных точек гранями из меньшего пучка. # ==== Невозможность построения ДНФ ''∑М'' (сумма минимальных) в классе локальных алгоритмов==== * '''Опр.''' ДНФ ΣM, цепная функция.* '''Т.''' (Журавлева) (неприменимость локального алгоритма для построения ДНФ ΣM цепной функции).
== Синтез и сложность управляющих систем ==
# Берётся всё из тех же лекций Ложкина: {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}. ==== Асимптотически оптимальный метод синтеза схем из функциональных элементов==== * '''Опр.''' дискретно-универсальное множество функций.* '''Т.''' (Лупанова) о верхней оценке функции Шеннона в классе СФЭ.* '''Сл.''' (асимптотика функции Шеннона). # ==== Асимптотически оптимальный метод синтеза контактных схем==== * '''Опр.''' m-регулярное множество.* '''Т.''' (Лупанова) то же, но в классе КС.* Идея метода Лупанова: разложение функции по подфункциям и полосам, построение суперпозиции КС на основе m-регулярного множества. # ==== Инвариантные классы и их свойства==== * Берётся из {{Скачать|Сапоженко - Некоторые вопросы сложности алгоритмов.djvu}}.* '''Опр.''' инв.класс, характеристика ИК, сложная функция, правильный алгоритм.* Пример ИК с характеристикой 0.5.* '''Т.''' (Яблонского) о существовании ИК с заданной характеристикой.* '''Т.''' (Яблонского) о работе правильного алгоритма, строящего сложную последовательность функций. # ==== Синтез схем для функций из некоторых инвариантных классов==== * Из Сапоженко и Ложкина.# * '''Т.''' (Лупанова) о верхней оценке функции Шеннона для ИК с заданной характеристикой.* '''Т.''' о нижней мощностной оценке функции Шеннона для ИК с характеристикой, большей 1. ==== Нижние оценки сложности реализации булевых функций параллельно-последовательными контактными схемами==== * Соотношение между π-схемами и формулами с поднятыми отрицаниями.# * '''Опр.''' каркас.* Оценка числа формул данной сложности на основе количества каркасов и способов подстановки переменных.* '''Л.''' о верхней оценке количества π-схем данной сложности через число формул.* '''Л.''' об обращении степенного неравенства.* Принцип получения нижних оценок функции Шеннона.* '''Т.''' о нижней оценке функции Шеннона. ==== Нижние оценки сложности реализации булевых функций формулами в произвольном базисе==== * '''Опр.''' приведенный вес, каркас.* '''Л.''' о соотношении между рангом формулы, ее сложностью и приведенным весом.* Оценка числа формул данной сложности на основе количества каркасов и способов подстановки переменных.
== Эквивалентные преобразования управляющих систем ==
# Опять-таки берётся из лекций Ложкина {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}, кроме примера Линдона, который можно взять из методички Алексеева {{Скачать|Алексеев и др. - Задачи по курсу Основы кибернетики.djvu}}. ==== Эквивалентные преобразования формул двузначной логики ''Р''<sub>2</sub>==== * '''Опр.''' тождество, выводимость, эквивалентное преобразование.* Тождества: ассоциативности, коммутативности, отождествления переменных, де Моргана, дистрибутивности, поглощения, подстановки констант.* '''Т.''' Основная и расширенная системы тождеств эквивалентны.* '''Т.''' основной система тождеств полна (поднятие отрицаний → раскрытие скобок → приведение подобных, переход к совершенной ДНФ). # ==== Эквивалентные преобразования контактных схем==== * '''Опр.''' тождества основные, вспомогательные, обобщенные, каноническая КС, каноническая цепь, цикломатическое число графа (компонент связности + рёбер — вершин), контактной схемы.# * '''Т.''' основная система тождеств полна (принцип индукции → расширение контактов → применение тождества «звезда» → добавление фиктивных цепей → удаление вершины → удаление висячих и параллельных цепей → удаление транзитной проводимости).* '''Л.''' (об изменении цикломатического числа при эквивалентных преобразованиях).* '''Т.''' (о неполноте любой конечной системы тождеств). ==== (404) Эквивалентные преобразования операторных алгоритмов.====# ''Специалисты, welcome — дополните секцию и уберите пометку (404) из заголовка!'' ==== Пример Линдона==== * '''Опр.''' функция Линдона (которая с 1 5 6).* Основные тождества и их вывод, преобразование к каноническому виду и его единственность.* '''Т.''' Полнота системы тождеств.* Свойство C<sup>n</sup> и его инвариантность относительно применения тождеств.* Невыводимость тождеств.* '''Т.''' {{notexists}} КПСТ.
== Надежность и контроль функционирования управляющих систем ==
# ==== Построение надежных контактных схем из ненадежных контактов==== * Из методички по ОК: {{Скачать|Алексеев и др. - Задачи по курсу Основы кибернетики.djvu}}.# * Логико-комбинаторный подход к понятию неисправности. Понятие самокоррекции.* Способы построения самокорректирующихся КС.* Представление об асимптотически наилучшем методе синтеза самокорректирующихся КС. ==== Логический подход к контролю исправности и диагностике неисправностей управляющих систем. Тесты==== * Из лекций Ложкина: {{Скачать|Ложкин С.А. - Лекции по основам кибернетики 2004.djvu}}.* Модель источника неисправности и ненадежной схемы (N состояний, реализуемых при неисправностях).* '''Опр.''' отделимая по столбцам матрица; таблица контроля, цель контроля; диагностика схемы, проверка исправности схемы; тесты: минимальный, тупиковый, диагностический, проверяющий; функция теста.* '''Л.''' (о формуле для функции теста)* '''Л.''' (о длине диагностического теста)
== Математическая экономика ==
Почти вся берётся из лекций [[rupedia:Шананин,_Александр_Алексеевич|Шананина]]: {{Скачать|Шананин А.А. - Лекции по математическим моделям в экономике 1999.pdf}}.
==== Модель межотраслевого баланса В. ВВ. ЛеонтьеваЛеонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц ====
* x-Ax=w, w≥0, x≥0 — 0 — модель Леонтьева.
* '''Опр.''' продуктивная матрица ({{exists}}x: x-Ax>0 или Dx>0), разложимая матрица.
* '''Т.''' (критерии продуктивности) (про любое w и миноры — миноры — условия Хокинса-Саймона)* '''Т.''' (Ф-П — П — про ограничения модулем с.з.) A≥0 ⇒ есть с.з. и с.в.≥0, (pE-A)<sup>-1</sup>>0 ⇔ p > λ(A), Ay ≥ μy ⇔ μ ≤ λ(A), |с.з| ≤ λ(A).
* '''Т.''' (свойства) не меняется от <sup>T</sup>; сохраняет умножение, степень, ≥ для полож.опр.; =0 когда матрица степенью уходит в 0.
* '''T.''' (об уст.матрицах)
==== Динамическая модель В. ВВ. ЛеонтьеваЛеонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Фробениуса — Перрона ====
* '''Опр.''' динам.модель Леонтьева (cx → max, Ax(t+1) ≤ x(t)); магистраль (отклоняется не больше чем на заданный угол).
* '''Т.''' (Моришимы) вектор Ф-П матрицы A — A — магистраль для семейства решений д.м. Л.
==== Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования ====
* Прямая задача — задача — максимизируем прибыль при ограничениях на трудозатраты (не больше).* Обратная задача — задача — минимизируем зарплату при ограничениях на внутренние цены (не меньше).
==== Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона ====
* Типа, сколько надо просить за опцион, чтобы потом было на что реализовать право покупателя.
* Упрощённая модель, есть две цены акции — акции — «верхняя» и «нижняя».
* <m>\sum{2^n+1}{2^{n+1}}p(j)b(j) = \beta(1)b(1) + \gamma(1)s(1)</m>
* '''Опр.''' (бояны) игра N игроков, равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Нэша) (боян) игра с непрерывной вогнутой по каждому x функцией имеет равновесие по Нэшу.
* Модель Курно: чем больше берём, тем меньше платим.<br /><m>u_i(x) = P(\sum_1^n x_j)x_i-c_i(x_i)</m> — — целевая функция (c<sub>i</sub> — — издержки).
* '''Т.''' (существования решения) c(x) и P(x) {{in}} C², издержки возрастают и выпуклы, P(x) неотрицательна и убывает в 0 (есть насыщение) ⇒ {{exists}}! равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Э-Д) (существования конкурентного равновесия с кучей условий)
==== Неподвижные точки. Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла — Никайдо — Гейла — Никайдо — Дебре. Теорема Фань-Цзы ====
* Отсебятина: на неподвижных точках, между прочим, [[rupedia:Алгоритм фрактального сжатия|фрактальное сжатие]] работает. Правда, не на Брауэре, а на Банахе, но это не важно.
* '''Т.''' (1-ая) конкурентное равновесие оптимально по Парето.
* '''Т.''' (2-ая) на рынке Парето-оптимальное состояние можно реализовать в качестве равновесия.
* Сравнительная статика: по идее это сравнение «снимков» состояния без прямого учёта фактора времени, но где почитать именно про равновесие — равновесие — неизвестно.
==== Проблемы коллективного выбора. Парадокс Эрроу ====
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Эрроу]], [[rupedia:Парадокс Кондорсе]].
* Есть избиратели, сортирующие кандидатов. Есть система выборов, строящая заключительный список, отсортированный по «общему убыванию».
* Классная вещь — вещь — Эрроу доказал, что такие выборы чисто математически не могут быть «разумными»!
* Не может быть одновременно: универсальность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив + принцип единогласия.
* Также не может быть: универсальность + полнота + монотонность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив.
* Можно почитать стр.11-21 книжки {{Скачать|Маршалл, Олкин - Неравенства - теория мажоризации и ее приложения.djvu}}.
* По сути: один конечный ряд (y) мажорирует другой (x), если сумма та же, а кривая x лежит ниже y.
* Началось со сравнения Лоренцом распределения богатства — богатства — чем больше концентрация богатства, тем кривее.
* И попёрли развивать какую-то левую теорию, мажоризация, слабая мажоризация, мажоризация как частичное упорядочение<span style="color:#a0a0a0">'', такая мажоризация, сякая мажоризация, групповая мажоризация, любительская мажоризация, извращённая мажоризация''</span>…
== Основная литература == # Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высш. школа, 2001.# Кудрявцев В.В, Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.# Мальцев А. И. Алгоритмы и вычислимые функции. М.: Наука, 1986.# Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.# Кибернетический сборник. 1960—1990. Вып. 1—9; вып. 1—28 (новая серия). М.: Мир.# Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1. / Под общ. ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974.# Нигматуллин Р. Г. Сложность булевых функций. М.: Наука, 1991.# Проблемы кибернетики. 1959—1984. Вып. 1—41. М.: Наука.# Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. М.: Наука, 1990.# Труды Математического института им. В. А. Стеклова. Т. 51. М.: Изд-во АН СССР, 1958.# Математические вопросы кибернетики. 1988—2001. Вып. 1—10. М.: Наука.# Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1969.# Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.# Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.# Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 2000.# Понтрягин Л. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.# Тихомиров В. М., Фомин С. В., Алексеев В. М. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.# Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2002.# Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1981.# Морозов В. В. Основы теории игр. М.: Изд-во МГУ, 2002.# Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. М.: Наука, 198 .# Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.# Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.# Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.# Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.# Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.# Мельников А. В. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997. == Дополнительная литература Литература ==
# МакВильмс Ф* {{Скачать|Лекции по методам оптимизации 2003. Джpdf}}* {{Скачать|Орлов - лекции по оптимальному управлению 2005., Слоэн Нpdf}}* {{Скачать|Шананин А. ДжА. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979- Лекции по математическим моделям в экономике 1999.pdf}}# Лупанов О* {{Скачать|Ложкин С. БА. Асимптотические оценки сложности управляющих систем- Лекции по основам кибернетики 2004. М.: Издdjvu}}* {{Скачать|Алексеев -во МГУ, 1984лекции по дискретной математике 2002.pdf}}# Сэведж Дж* {{Скачать|Алексеев и др. Э- Задачи по курсу Основы кибернетики. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998djvu}}* {{Скачать|Сапоженко - Некоторые вопросы сложности алгоритмов.djvu}}# Марков * {{Скачать|А. А. Введение в теорию кодирования. МА.: НаукаВасин, 1982В.# Орлов В. А. Простое доказательство алгоритмической неразрешимости некоторых задач о полноте автоматных базисов. //Кибернетика. 1973. № 4. С. 109—113Морозов - Теория игр и модели математической экономики.djvu}}# Редькин Н. П. Надежность и диагностика схем. М* {{Скачать|Васин, Морозов - Дополнительные главы теории операций - Глава 5 - Теория принятия решений.: Издdjvu}}* {{Скачать|Яблонский -во МГУВведение в дискретную математику.djvu}}* {{Скачать|Пападимитриу, 1992Стайглиц - Комбинаторная оптимизация.djvu}}# Соловьев Н* {{Скачать|Оре - Теория графов. А. Тесты (теорияdjvu}}* {{Скачать|Макмиллан, построениеСлоэн - Теория кодов, применения)исправляющих ошибки. Новосибирск: Наука, 1978djvu}}* {{Скачать|Алексеев - лекции по сложности комбинаторных алгоритмов.pdf}}# Поляк Б* {{Скачать|Мальцев - Алгоритмы и рекурсивные функции. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наукаdjvu}}* {{Скачать|Маршалл, 1984Олкин - Неравенства - теория мажоризации и ее приложения.djvu}}
[[Категория:УчёбаКандаминимум]]
