13 531
правка
Изменения
→Математическая экономика
== Математическая экономика ==
=== Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц ===
* x-Ax=w, w≥0, x≥0 — модель Леонтьева.
* '''Опр.''' продуктивная матрица (∃x: x-Ax>0 или Dx>0), разложимая матрица.
* '''Т.''' (критерии продуктивности) (про любое w и миноры — условия Хокинса-Саймона)
* '''Т.''' (Ф-П — про ограничения модулем с.з.) A≥0 ⇒ есть с.з. и с.в.≥0, (pE-A)<sup>-1</sup>>0 ⇔ p > λ(A), Ay ≥ μy ⇔ μ ≤ λ(A), |с.з| ≤ λ(A).
* '''Т.''' (свойства) не меняется от <sup>T</sup>; сохраняет умножение, степень, ≥ для полож.опр.; =0 когда матрица степенью уходит в 0.
* '''T.''' (об уст.матрицах)
=== Динамическая модель В. В. Леонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Перрона ===
=== Линейные задачи оптимального распределения ресурсов. Экономическая интерпретация двойственности в задачах линейного программирования ===
* Прямая задача — максимизируем прибыль при ограничениях на трудозатраты (не больше).
* Обратная задача — минимизируем зарплату при ограничениях на внутренние цены (не меньше).
=== Модель Кокса—Росса—Рубинштейна. Оценка стоимости опциона ===
* Типа, сколько надо просить за опцион, чтобы потом было на что реализовать право покупателя.
* Упрощённая модель, есть две цены акции — «верхняя» и «нижняя».
* <m>\sum{2^n+1}{2^{n+1}}p(j)b(j) = \beta(1)b(1) + \gamma(1)s(1)</m>
=== Модель олигополистической конкуренции Курно. Теорема Нэша ===
* '''Опр.''' (бояны) игра N игроков, равновесие по Нэшу.
* '''Т.''' (Нэша) (боян) игра с непрерывной вогнутой по каждому x функцией имеет равновесие по Нэшу.
* Модель Курно: чем больше берём, тем меньше платим. <m>u_i(x) = P(\sum_1^n x_j)x_i — c_i(x_i)</m> — целевая функция (c<sub>i</sub> — издержки).
* '''Т.''' (существования решения) c(x) и P(x) ∈ C², издержки возрастают и выпуклы, P(x) неотрицательна и убывает в 0 (есть насыщение) ⇒ ∃! равновесие по Нэшу.
=== Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи дополнительности. Замкнутость отображений спроса и предложения. Теорема Эрроу—Дебре ===
* Можно почитать [[rupedia:Теорема Эрроу]], [[rupedia:Парадокс Кондорсе]].
* Есть избиратели, сортирующие кандидатов. Есть система выборов, строящая заключительный список, отсортированный по «общему убыванию».
* Классная вещь — Эрроу доказал, что такие выборы чисто математически не могут быть «разумными»!
* Не может быть одновременно: универсальность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив + принцип единогласия.
* Также не может быть: универсальность + полнота + монотонность + отсутствие диктатора + независимость от посторонних альтернатив.
=== Индексы неравенства и кривая Лоренца. Теорема мажоризации ===
