13 521
правка
Изменения
→Классические ортогональные базисы. Их основные свойства
== Классические ортогональные базисы. Их основные свойства ==
* Определяются одним из 3-х свойств:
** Их производные также образуют ортогональную систему.
** Удовлетворяют гипергеометрическому дифуру.
** Обобщённая формула Родрига: <m>\phi_n(x) = \frac{1}{K_n \rho(x)}\frac{d^n(\rho(x)X^n)}{dx^n}</m>.
* Также для них есть рекуррентные соотношения, связывающие 3 любые последовательных функции.
Базисы:
# [-1; 1]. Якоби — с весовой функцией <m>\rho(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta</m>.
#* Гегенбауэра: α = β = λ — 0.5.
#** Чебышева I рода: λ = 0.
#** Чебышева II рода: λ = 1.
#** Лежандра: λ = 0.5 (весовая функция = 1).
# (0; +∞) Сонина-Лагерра: <m>\rho(x) = x^\alpha e^{-x}</m>
#* Лагерра: α = 0.
# (-∞; +∞) Эрмита: <m>\rho(x) = e^{-x²}</m>
== Вычисление коэффициентов разложения. Роль квадратурных формул Гаусса ==